Nombre premier de Wieferich
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En mathématiques, un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que p2 divise 2p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise, entre autres, 2p–1 – 1). Les nombres premiers de Wieferich furent décrits en premier par Arthur Wieferich en 1909 dans ses travaux[1] relatifs au dernier théorème de Fermat.
Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (suite A001220 de l'OEIS), découverts par Waldemar Meissner en 1913[2] et N. G. W. H. Beeger (en) en 1922[3], respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être supérieurs à 1,47 × 1017 (meilleur résultat connu en 2014)[4],[5]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini. Joseph H. Silverman a seulement pu démontrer, en 1988[6], que si la conjecture abc est vraie, alors pour tout entier a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que p2 ne divise pas ap–1 – 1 (et donc qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ne sont pas de Wieferich).
On sait qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne Mq = 2q – 1 ne peut être premier de Wieferich que si p2 divise Mq ; on en déduit immédiatement qu'aucun nombre de Mersenne premier n'est premier de Wieferich.Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors .
Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :
En 1910, Mirimanoff put étendre le théorème en montrant que, si les hypothèses du théorème sont vraies pour un certain nombre premier p, alors p2 doit aussi diviser 3p–1-1.