Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels [ 1] définis par le développement en série de Taylor suivant :
1 cos x = ∑ n = 0 ∞ E n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} On les appelle aussi parfois les nombres sécants, voir la suite A000364 de l'OEIS .
Premiers nombres d'Euler
Sommations Une formule explicite pour les nombres d'Euler est [réf. souhaitée] :
E n = ( − 1 ) n i ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) j ( k − 2 j ) 2 n + 1 2 k i k k {\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}\mathrm {i} \sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}\mathrm {i} ^{k}k}}} où i est le nombre complexe tel que i2 = −1 .
Sommes sur les partitions Le nombre E n {\displaystyle E_{n}} s'exprime comme somme sur les partitions paires de 2 n {\displaystyle 2n} [ 2] :
E n = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ n ( K k 1 , … , k n ) δ n , ∑ m k m ( − 1 2 ! ) k 1 ( − 1 4 ! ) k 2 ⋯ ( − 1 ( 2 n ) ! ) k n , {\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}~\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left({\frac {-1~}{2!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {-1~}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {-1~}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},} et aussi comme somme sur les partitions impaires de 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} [ 3] :
E n = − ( 2 n − 1 ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ 2 n − 1 ( K k 1 , … , k n ) δ 2 n − 1 , ∑ ( 2 m − 1 ) k m ( − 1 1 ! ) k 1 ( 1 3 ! ) k 2 ⋯ ( ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ) k n , {\displaystyle E_{n}=-(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left({\frac {-1~}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},} où, dans les deux cas, K = k 1 + ⋯ + k n {\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{n}} et
( K k 1 , … , k n ) ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}} est un coefficient multinomial . La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux k i {\displaystyle k_{i}} tels que 2 k 1 + 4 k 2 + ⋯ + 2 n k n = 2 n {\displaystyle 2k_{1}+4k_{2}+\cdots +2nk_{n}=2n} et k 1 + 3 k 2 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) k n = 2 n − 1 {\displaystyle k_{1}+3k_{2}+\cdots +(2n-1)k_{n}=2n-1} , respectivement.
Par exemple,
E 5 = − 10 ! ( − 1 10 ! + 2 2 ! 8 ! + 2 4 ! 6 ! − 3 2 ! 2 6 ! − 3 2 ! 4 ! 2 + 4 2 ! 3 4 ! − 1 2 ! 5 ) = − 9 ! ( − 1 9 ! + 3 1 ! 2 7 ! + 6 1 ! 3 ! 5 ! + 1 3 ! 3 − 5 1 ! 4 5 ! − 10 1 ! 3 3 ! 2 + 7 1 ! 6 3 ! − 1 1 ! 9 ) = 50 521. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{5}&=-10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!8!}}+{\frac {2}{4!6!}}-{\frac {3}{2!^{2}6!}}-{\frac {3}{2!4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=-9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}7!}}+{\frac {6}{1!3!5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}5!}}-{\frac {10}{1!^{3}3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=50\,521.\end{aligned}}}
Avec un déterminant E n {\displaystyle E_{n}} est aussi donné par le déterminant [réf. souhaitée] :
E n = ( 2 n ) ! | 1 2 ! 1 1 4 ! 1 2 ! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 ( 2 n − 2 ) ! 1 ( 2 n − 4 ) ! 1 2 ! 1 1 ( 2 n ) ! 1 ( 2 n − 2 ) ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
Voir aussi
Notes et références