Négligeabilité

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions définies sur une partie ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , et soit ${\displaystyle a}$ un point adhérent à ${\displaystyle I}$ (${\displaystyle a}$ peut être un réel, ${\displaystyle +\infty }$ ou ${\displaystyle -\infty }$ ).

On dit que ${\displaystyle f}$ est négligeable devant ${\displaystyle g}$ , ou que ${\displaystyle g}$ est prépondérante devant ${\displaystyle f}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ si il existe une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ et un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle a}$ tels que :

${\displaystyle \varepsilon \ {\underset {a}{\rightarrow }}\ 0}$ , et ${\displaystyle f=\varepsilon g\ }$ sur ${\displaystyle V\cap I}$

Ce qui est équivalent à  :

• si ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}$
• si ${\displaystyle a=+\infty }$  : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left[A,+\infty \right[\cap I\quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}$
• si ${\displaystyle a=-\infty }$  : ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \left]-\infty ,A\right]\cap I\ \quad \left|f(x)\right|\leq \varepsilon \left|g(x)\right|}$

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où ${\displaystyle g}$ ne s'annule pas au voisinage de ${\displaystyle a}$ est :

${\displaystyle f}$ est négligeable devant ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ si :

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=0}$

On écrit alors ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ , qui se lit « ${\displaystyle f}$ est un petit ${\displaystyle o}$ de ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$  ». C'est une des notations de Landau.

Dans le cas où ${\displaystyle g}$ ne s'annule pas au voisinage de ${\displaystyle a}$ mais s’annule en ${\displaystyle a}$ , f est négligeable devant g au voisinage de ${\displaystyle a}$ si :

${\displaystyle \lim _{\underset {x\neq a}{x\to a}}{\dfrac {f(x)}{g(x)}}=0}$ et si ${\displaystyle f(a)=0}$

• Si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ et ${\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ alors ${\displaystyle f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ .
• Si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1})}$ et ${\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,O(g_{2})}$ alors ${\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{1}g_{2})}$ ,

  en particulier, si ${\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ est bornée au voisinage de a, alors ${\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ .

• Si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(g)}$ et ${\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,O(h)}$ , ou si ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,O(g)}$ et ${\displaystyle g\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}$ , alors ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,o(h)}$

  en particulier, ${\displaystyle \,{\underset {a}{=}}\,o}$ est transitive.

• ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g\Leftrightarrow f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\Leftrightarrow f\,{\underset {a}{=}}\,g+o(g)}$ .

Une échelle de comparaison ${\displaystyle E_{a}}$ est^[1] une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :

${\displaystyle \forall (f,g)\in {E_{a}}^{2}\quad f\neq g\Rightarrow \left(f\,{\underset {a}{=}}\,o(g){\text{ ou }}g\,{\underset {a}{=}}\,o(f)\right)}$ .

Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur ${\displaystyle V\setminus \{a\}}$ , et ${\displaystyle E_{a}}$ une échelle de comparaison en a.

On dit que f admet la fonction ${\displaystyle g\in E_{a}}$ comme partie principale par rapport à l'échelle ${\displaystyle E_{a}}$ s'il existe un réel A non nul tel que ${\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,Ag}$ (ou ${\displaystyle f\,{\underset {a}{=}}\,Ag+o(g)}$ )^[2].

• Unicité en cas d'existence
• Soient ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ admettant respectivement ${\displaystyle g_{1}}$ et ${\displaystyle g_{2}}$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison ${\displaystyle E_{a}}$ .

1. La partie principale de ${\displaystyle f_{1}f_{2}}$ par rapport à l'échelle de comparaison ${\displaystyle E_{a}}$ est la même que celle de ${\displaystyle g_{1}g_{2}}$ .
2. Si ${\displaystyle g_{1}\,{\underset {a}{=}}\,o(g_{2})}$ alors ${\displaystyle g_{2}}$ est la partie principale de ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ par rapport à l'échelle de comparaison ${\displaystyle E_{a}}$ .
3. Si ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ et ${\displaystyle A_{1}+A_{2}\neq 0}$ alors ${\displaystyle (A_{1}+A_{2})g_{1}}$ est la partie principale de ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ par rapport à l'échelle de comparaison ${\displaystyle E_{a}}$ .

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ , auquel ${\displaystyle a=+\infty }$ est adhérent.

Par conséquent, une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ de nombres réels est négligeable devant une suite réelle ${\displaystyle (v_{n})}$ si et seulement si :

il existe une suite ${\displaystyle (\varepsilon _{n})}$ de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, ${\displaystyle u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}}$

ou encore :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad |u_{n}|\leq \varepsilon |v_{n}|}$ ,

ce qui, lorsque ${\displaystyle (v_{n})}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=0}$ .

On note : ${\displaystyle u_{n}=o(v_{n})}$ .