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Une loi zêta est un sous cas de la loi de Zipf où le paramètre N est infini.
Moments
Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xn :
La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi :
Lien avec la densité naturelle
Soit A une partie de , on dit que A a une densité naturelle si converge. Notons d(A) la limite. On a alors le résultat suivant :
Démonstration
Soit , posons pour tout on a par hypothèse que , donc on peut poser tel que On écrit alors On s'intéresse au terme , on a : car la variable muette a est supérieure à Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors . Il s'ensuit alors que pour . posons alors On a donc , d'où On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que , ainsi :