Loi logarithmique

On part du développement en série entière suivant :

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

pour ${\displaystyle 0<p<1}$ . On peut en déduire l'identité qui suit :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p) :

${\displaystyle f(k;p)=P(X=k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

pour ${\displaystyle k\geq 1}$ , et où ${\displaystyle 0<p<1}$ .

La fonction de répartition associée est

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {B} }$ est la fonction bêta incomplète.

Pour p proche de 0,5, la loi logarithmique tend vers la loi géométrique de paramètre p^[1].

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si ${\displaystyle N}$ est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que ${\displaystyle X_{i}}$ , ${\displaystyle i}$ = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}X_{i}}$

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.