Loi log-Cauchy

La densité de probabilité de la loi log-Cauchy est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\begin{cases}{\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right]{\textbf {1}}_{\{x>0\}}\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \mu }$ est un nombre réel et ${\displaystyle \sigma >0}$ ^[1],[2]. Si ${\displaystyle \sigma }$ est connu, le paramètre d'échelle est ${\displaystyle e^{\mu }}$ ^[1]. Les paramètres ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \sigma }$ correspondent respectivement aux paramètres de position et d'échelle de la loi de Cauchy associée^[1],[3]. Certains auteurs définissent ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \sigma }$ comme, respectivement, les paramètres de position et d'échelle de la loi log-Cauchy^[3].

Pour ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle \sigma =1}$ , la loi log-Cauchy est associée à la loi de Cauchy standard, la densité de probabilité est alors réduite à^[4] :

${\displaystyle f(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{x\pi (1+(\ln x)^{2})}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition pour ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle \sigma =1}$ est^[4] :

${\displaystyle F(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de survie pour ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle \sigma =1}$ est^[4] :

${\displaystyle S(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)&{\text{ si }}x>0\\1&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Le taux de défaillance pour ${\displaystyle \mu =0}$ et ${\displaystyle \sigma =1}$ est^[4] :

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left({\frac {1}{x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^{2}\right)}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right)\right)^{-1},\ \ x>0}$

Le taux de hasard décroit au début et sur la dernière partie du support de la densité, mais il peut exister un intervalle sur lequel le taux de hasard croît^[4].

La loi log-Cauchy est un exemple de loi à queue lourde^[5]. Certains auteurs la considère comme une loi à « queue super-lourde », car elle possède une queue plus lourde que celles de type de la distribution de Pareto, c'est-à-dire qu'elle a une décroissance logarithmique^[5],[6]. Comme avec la loi de Cauchy, aucun des moments (non triviaux) de la loi log-Cauchy n'est fini^[4]. La moyenne et l'écart-type étant des moments, ils ne sont pas définis pour la loi log-Cauchy^[7],[8].

La loi log-Cauchy est infiniment divisible pour certains paramètres^[9]. Comme les lois log-normale, log-Student et de Weibull, la loi log-Cauchy est un cas particulier de loi bêta généralisée du second type^[10],[11]. La loi log-Cauchy est en fait un cas particulier de la loi log-Student, comme la loi de Cauchy est un cas particulier de la loi de Student à un degré de liberté^[12],[13].

Puisque la loi de Cauchy est une loi stable, la loi log-Cauchy est une loi log-stable^[14].

La médiane du logarithme naturel d'un échantillon est un estimateur robuste de ${\displaystyle \mu }$ ^[1].