En théorie des probabilités et en statistique , la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.
Loi inverse-gaussienne généralisée Paramètres δ ≥ 0 , {\displaystyle \delta \geq 0,} γ ≥ 0 , {\displaystyle \gamma \geq 0,} λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } Support [ 0 , ∞ [ {\displaystyle [0,\infty [} Densité de probabilité ( γ δ ) λ 1 2 K λ ( δ γ ) x λ − 1 e − 1 2 ( γ 2 x + δ 2 x ) {\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}} Espérance δ K λ + 1 ( δ γ ) γ K λ ( δ γ ) {\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma \ K_{\lambda }(\delta \gamma )}}} Mode ( λ − 1 ) + ( λ − 1 ) 2 + ( δ γ ) 2 γ 2 {\displaystyle {\frac {(\lambda -1)+{\sqrt {(\lambda -1)^{2}+(\delta \gamma )^{2}}}}{\gamma ^{2}}}} Variance ( δ γ ) 2 [ K λ + 2 ( δ γ ) K λ ( δ γ ) − ( K λ + 1 ( δ γ ) K λ ( δ γ ) ) 2 ] {\displaystyle \left({\frac {^{\delta }}{\gamma }}\right)^{2}\left[{\frac {K_{^{\lambda }+2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\right)^{2}\right]} Fonction génératrice des moments ( γ 2 γ 2 − 2 t ) λ 2 K λ ( δ 2 ( γ 2 − 2 t ) K λ ( δ γ ) {\displaystyle \left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2t}}\right)^{\frac {\lambda }{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2t}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}} Fonction caractéristique ( γ 2 γ 2 − 2 i t ) λ 2 K λ ( δ 2 ( γ 2 − 2 i t ) K λ ( δ γ ) {\displaystyle \left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2it}}\right)^{\frac {^{\lambda }}{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2it}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}} modifier
Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique , en hydrologie ou en finance . Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen[ 1] (en) (en) loi de Sichel .
La notation X ∼ G I G ( λ , δ , γ ) {\displaystyle X\sim GIG(\lambda ,\delta ,\gamma )} variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.
Caractérisation La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par[ 2]
f ( x ) = { ( γ δ ) λ 1 2 K λ ( δ γ ) x λ − 1 e − 1 2 ( γ 2 x + δ 2 x ) si x > 0 0 sinon {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}} où K λ {\displaystyle \scriptstyle K_{\lambda }} fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre λ {\displaystyle \scriptstyle \lambda }
{ δ ≥ 0 , γ > 0 si λ > 0 , δ > 0 , γ > 0 si λ = 0 , δ > 0 , γ ≥ 0 si λ < 0. {\displaystyle {\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }}\lambda <0.\end{cases}}}
Entropie
Liens avec d'autres lois Lorsque λ = − 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle \lambda =-1/2} GIG ( − 1 / 2 , δ , γ ) {\displaystyle \scriptstyle {\text{GIG}}(-1/2,\delta ,\gamma )} loi inverse-gaussienne [ 2] La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour δ = 0 {\displaystyle \scriptstyle \delta =0} [ 2]
Références 
![{\displaystyle \left({\frac {^{\delta }}{\gamma }}\right)^{2}\left[{\frac {K_{^{\lambda }+2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c91d02d10b29a8cf407629be3157fc2e247cc54)
![{\displaystyle H(f(x))=\log \left({\frac {\delta }{\gamma }}\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}+{\frac {\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}\left(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36598acf1c908f160b9eba26d548cbc959c43ef)
, la loi
est une loi inverse-gaussienne[2].
[2].
