Loi inverse-χ²

Si X suit une loi du χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté, alors ${\displaystyle 1/X}$ est de loi inverse-χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}\mathrm {e} ^{-1/(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma et ${\displaystyle \nu }$ est appelé le nombre de degrés de liberté.

Une variante de la loi inverse-χ² existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de ${\displaystyle \nu /X}$ lorsque X suit une loi du χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

${\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}x^{-\nu /2-1}\mathrm {e} ^{-\nu /(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Le degré de liberté est encore ${\displaystyle \nu }$ .

• loi du χ² : Si ${\displaystyle X\thicksim \chi ^{2}(\nu )}$ , alors ${\displaystyle {\frac {1}{X}}\thicksim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ .
• la loi inverse-χ² est la loi inverse-gamma avec ${\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}$ et ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$ .