En théorie des probabilités et en statistique, la loi du
(prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du
; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).
Loi du ![{\displaystyle \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437) |
Densité de probabilité |
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Fonction de répartition |
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Paramètres | (degrés de liberté) |
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Support | ![{\displaystyle x\in [0;\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9941a5b89f60f9296e7c188804eb23d969212bc) |
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Densité de probabilité | ![{\displaystyle {\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd9445c9ae0eddf32f1bd6749052aff98619bbe) |
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Fonction de répartition | ![{\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcc9ec69b44a75d33cbd1b6e11e5d77a2341845) |
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Espérance | ![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3f75a3f9221fcf19d49bcfc650540bcbced7c4) |
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Mode | pour ![{\displaystyle k\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30d7dcf305b7bce39d36df72fe3985b47aa9961) |
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Variance | ![{\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e24d929fe5092d74e8a0a46a6874975a2219c0) |
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Asymétrie | ![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9518969a271deafd6aec3d93eb787c045570251f) |
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Kurtosis normalisé | ![{\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727931a5947acb55f1e638c34862e9d853910479) |
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Entropie | ![{\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d10d5bcf76800e7afa268cfec2a4a26ecd8e546)
![{\displaystyle \,{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d63b28ae48e3ab2e3d6272dc029be20dcb7758) |
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Fonction génératrice des moments | (voir détails dans l'article) |
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Fonction caractéristique | (voir détails dans l'article) |
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modifier ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png) |
Si
sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne
et écart-type
, alors la variable
![{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4a2307b8cde142c71637127b4ac83d4db27d1)
est de loi du
.
Caractérisations
Densité de probabilité
La densité de probabilité de la loi du
est :
où
est la fonction gamma.
Fonction de répartition
La fonction de répartition de la loi du
est :
où
est la fonction gamma incomplète (régularisée).
Fonctions génératrices
Fonction génératrice des moments
La fonction génératrice des moments est donnée par :
où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
Fonction caractéristique
La fonction caractéristique est donnée par :
où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.
Propriétés
Moments
Les moments de la loi du
sont donnés par :
où
est la fonction gamma. Les premiers moments sont :
où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :
à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :
Entropie
L'entropie est donnée par :
où
est la fonction polygamma.
Liens avec d'autres lois
- Si
alors
, (loi du χ²)
, (loi normale)- Si
alors
, (loi demi-normale) pour tout
, (loi de Rayleigh)
, (loi de Maxwell)
, (la norme de n variables de loi normale est de loi du
à k degrés de liberté.)- la loi du
est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.
Différentes lois du
et
Lois | en fonction de variables de loi normale |
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loi du χ² | |
loi du χ² non centrée | |
loi du χ | |
loi du χ non centrée | |
Liens externes