Loi de Wishart inverse

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

${\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}}$

où ${\displaystyle \mathbf {X} }$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ sont des matrices définies positives ${\displaystyle p\times p}$ et ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ est la fonction gamma multidimensionnelle.

Si ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },\nu )}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Sigma } }}$ est une matrice ${\displaystyle p\times p}$ , alors ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathbf {A} }^{-1}}$ est de loi de Wishart inverse : ${\displaystyle \mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )}$ ^[2].

Supposons que ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$ est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$  :

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}$

où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{ij}}}$ et ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } _{ij}}}$ sont des matrices ${\displaystyle p_{i}\times p_{j}}$ , alors on obtient

1. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ est indépendant de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ et de ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}}$ , où ${\displaystyle {\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}}$ est le complément de Schur de ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}}$ dans ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ;
2. ${\displaystyle {\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})}$ ;
3. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})}$ , où ${\displaystyle MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )}$ est la loi normale multidimensionnelle;
4. ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )}$

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982]^[3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est^[2] :

${\displaystyle E(\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}$

La variance de chaque élément de ${\displaystyle \mathbf {X} }$ est :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}}$

a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec ${\displaystyle i=j}$ , ce qui se simplifie en :

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.}$

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec ${\displaystyle p=1}$ , c'est-à-dire unidimensionnel, ${\displaystyle \alpha =\nu /2}$ , ${\displaystyle \beta =\mathbf {\Psi } /2}$ et ${\displaystyle x=\mathbf {X} }$ , la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

${\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}$

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où ${\displaystyle \Gamma _{1}(\cdot )}$ est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.