En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.
Loi de Tukey-lambda |
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Paramètres | paramètre de forme |
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Support | ![{\displaystyle {\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efcc8b7578d2d3091c5e2faf60624f2fe2795e3) |
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Densité de probabilité | donnée par les quantiles : ![{\displaystyle (Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e8f9efdaedc71f8451ac90c8e2838896208c0c) |
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Fonction de répartition | ![{\displaystyle ({\rm {e}}^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2313f207e8f8ee1d764cc3f2df9b20750d7ca92c) |
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Espérance | ![{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2978b4821345ef71d577e35b3e433fc6251d6) |
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Médiane | 0 |
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Mode | 0 |
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Variance | ![{\textstyle {\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}\right)&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c49cd862c106162408af60d9b1caf57f2fe0010) |
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Asymétrie | ![{\displaystyle 0{\text{ pour }}\lambda >-1/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6cdc116a5bff561bc1dc93de9bce5b8a3e58c3) |
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Kurtosis normalisé | où et . |
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Entropie | [1] |
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Fonction caractéristique | [2] |
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Différents paramétrages
La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles[3]:
avec la fonction logit.
Le paramètre
est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.
La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.
Lois de Tukey-lambda généralisées
- La version de Ramberg et Schmeiser[4]
- La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin[5]
Notes et références