Loi de Rice

Soient deux variables de Gauss centrées, indépendantes, de même variance σ². Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit une loi de Rayleigh :

${\displaystyle f(x,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$ .

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées (ν cos θ, ν sin θ) (coordonnées polaires (ν , θ)), la densité de probabilité devient :

${\displaystyle f(x|\nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$

où I₀(z) est la fonction de Bessel modifiée de première espèce et d'ordre 0.

Les premiers moments (non centrés) sont :

${\displaystyle \mu _{1}=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{4}=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=15\sigma ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \mu _{6}=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\,}$

${\displaystyle L_{\nu }(x)=L_{\nu }^{0}(x)=M(-\nu ,1,x)=\,_{1}F_{1}(-\nu ;1;x)}$

où, L_ν(x) représente un polynôme de Laguerre et M désigne la fonction hypergéométrique confluente.

Pour le cas ν = 1/2 :

${\displaystyle L_{1/2}(x)=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)}$

${\displaystyle =\mathrm {e} ^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left({\frac {-x}{2}}\right)-xI_{1}\left({\frac {-x}{2}}\right)\right].}$

Généralement les moments sont donnés par

${\displaystyle \mu _{k}=s^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}),\,}$

où s = σ^1/2.

Lorsque k est pair, les moments deviennent des polynômes en σ et ν.

• La variable ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ suit une loi de Rice ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\sigma ,\nu \right)}$ à condition que ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ et ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$ soient deux variables gaussiennes indépendantes.
• Pour obtenir une variable ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$ , on peut considérer une autre procédure :

1. Tirer P selon une loi de Poisson, de paramètre ${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$
2. Tirer X selon une loi du χ² avec 2P + 2 degrés de liberté.
3. Poser R = σ √X.

• Si ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(1,\nu \right)}$ alors R² suit une loi du χ² non centrée, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralité ν².

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient^[1] :

${\displaystyle L_{\nu }(x)\ {\underset {x\rightarrow -\infty }{\sim }}\ {\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

On peut constater que lorsque ν devient grand ou que σ devient petit, alors la moyenne devient ν et la variance σ².