En théorie des probabilités et en statistiques , la loi (distribution) de Laplace est une densité de probabilité continue, portant le nom de Pierre-Simon de Laplace . On la connaît aussi sous le nom de loi double exponentielle , car sa densité peut être vue comme l'association des densités de deux lois exponentielles , accolées dos à dos. La loi de Laplace s'obtient aussi comme résultat de la différence de deux variables exponentielles indépendantes .
Laplace Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres μ {\displaystyle \mu \,} Paramètre de position (réel) b > 0 {\displaystyle b>0\,} Paramètre d'échelle (réel)Support x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,} Densité de probabilité 1 2 b exp ( − | x − μ | b ) {\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,} Fonction de répartition voir plus bas Espérance μ {\displaystyle \mu \,} Médiane μ {\displaystyle \mu \,} Mode μ {\displaystyle \mu \,} Variance 2 b 2 {\displaystyle 2\,b^{2}} Asymétrie 0 {\displaystyle 0\,} Kurtosis normalisé 3 {\displaystyle 3} Entropie log 2 ( 2 e b ) {\displaystyle \log _{2}(2{\rm {e}}b)} Fonction génératrice des moments exp ( μ t ) 1 − b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!} pour | t | < 1 / b {\displaystyle |t|<1/b\,} Fonction caractéristique exp ( i μ t ) 1 + b 2 t 2 {\displaystyle {\frac {\exp({\rm {i}}\,\mu \,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!} modifier
Caractérisation
Densité de probabilité Une variable aléatoire suit une loi de Laplace(μ , b ) si sa densité de probabilité est
f ( x | μ , b ) = 1 2 b exp ( − | x − μ | b ) {\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!} = 1 2 b { exp ( − μ − x b ) si x < μ exp ( − x − μ b ) si x ≥ μ {\displaystyle ={\frac {1}{2b}}{\begin{cases}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{cases}}} Le réel μ est un paramètre de position et b > 0 un paramètre d'échelle . Si μ = 0 et b = 1, la loi de Laplace est dite standard et sa restriction à la demi-droite réelle positive est la loi exponentielle de paramètre 1/2.
La densité rappelle aussi celle de la loi normale ; toutefois, tandis que la loi normale est exprimée en termes de la différence au carré ( x − μ ) 2 {\displaystyle (x-\mu )^{2}} , la loi de Laplace fait intervenir la différence absolue | x − μ | {\displaystyle |x-\mu |} . La loi de Laplace présente alors des queues plus épaisses que la loi normale.
Fonction de répartition La densité de la loi de Laplace s'intègre aisément grâce à la présence de la valeur absolue . Sa fonction de répartition est :
F ( x ) {\displaystyle F(x)\,} = ∫ − ∞ x f ( u ) d u {\displaystyle =\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u} = { 1 2 exp ( − μ − x b ) si x < μ 1 − 1 2 exp ( − x − μ b ) si x ≥ μ {\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{si }}x<\mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{si }}x\geq \mu \end{cases}}} = 0 , 5 [ 1 + sgn ( x − μ ) ( 1 − exp ( − | x − μ | / b ) ) ] . {\displaystyle =0,5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))].}
La réciproque de la fonction de répartition est
F − 1 ( p ) = μ − b sgn ( p − 0 , 5 ) ln ( 1 − 2 | p − 0 , 5 | ) . {\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}
Tirer une variable selon la loi de Laplace Étant donné une variable U , tirée selon une loi uniforme continue dans l'intervalle [-1/2, 1/2], la variable suivante
X = μ − b sgn ( U ) ln ( 1 − 2 | U | ) {\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)} est distribuée selon la loi de Laplace de paramètres μ et b . Ce résultat provient de l'expression de l'inverse de la fonction de répartition et de la méthode de la transformée inverse .
Une variable Laplace(0, b ) peut aussi se générer comme la différence de deux variables exponentielles, de paramètre 1/b , indépendantes. De même, une loi Laplace(0, 1) peut s'obtenir en considérant le logarithme du ratio de deux variables uniformes indépendantes.
Estimation des paramètres
Moments Les moments centrés d'ordre r peuvent s'exprimer à partir des moments ordinaires :
μ r ′ = 1 2 ∑ k = 0 r ( r k ) k ! b k μ ( r − k ) { 1 + ( − 1 ) k } {\displaystyle \mu _{r}'={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{r}{\binom {r}{k}}k!b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}}
Lois associées Si X ∼ L a p l a c e ( 0 , b ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} (0,b)\,} alors | X | ∼ E x p o n e n t i e l l e ( b − 1 ) {\displaystyle |X|\sim \mathrm {Exponentielle} (b^{-1})\,} est une loi exponentielle ; Si X ∼ E x p o n e n t i e l l e ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Exponentielle} (\lambda )\,} et Y indépendante de X {\displaystyle X\,} suit une loi de Rademacher , alors X Y ∼ L a p l a c e ( 0 , λ − 1 ) {\displaystyle XY\sim \mathrm {Laplace} (0,\lambda ^{-1})\,} ; Si X 1 ∼ E x p o n e n t i e l l e ( λ 1 ) {\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exponentielle} (\lambda _{1})\,} et X 2 ∼ E x p o n e n t i e l l e ( λ 2 ) {\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Exponentielle} (\lambda _{2})\,} indépendantes de X 1 {\displaystyle X_{1}\,} , alors λ 1 X 1 − λ 2 X 2 ∼ L a p l a c e ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lambda _{1}X_{1}-\lambda _{2}X_{2}\sim \mathrm {Laplace} \left(0,1\right)\,} .
Notes et références