Loi de Kesten-McKay

La fonction de densité de la loi de Kesten-McKay est :

${\displaystyle f_{KM}(x|d)={\frac {d}{2\pi }}{\frac {\sqrt {4(d-1)-x^{2}}}{d^{2}-x^{2}}}1\!\!1_{|x|\leqslant 2{\sqrt {d-1}}}(x)}$

Il s'agit d'un cas particulier de la loi de Kesten, définie par la densité :

${\displaystyle f_{KM}(x|d,q)={\frac {d}{2\pi }}{\frac {\sqrt {4(q-1)-x^{2}}}{d^{2}-(d-q)x^{2}}}1\!\!1_{|x|\leqslant 2{\sqrt {q}}}(x)}$

La densité de la loi de Kesten-McKay est paire, donc tous les moments d'ordre impair sont nuls et ceux d'ordre pair valent :

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{2k})=d\sum _{i=0}^{k}C(k-1,i)d^{k-i-1}(d-1)^{i}}$

où C(k,i) est un nombre du triangle de Catalan.

Pour d tendant vers l'infini, la loi de Kesten-McKay tend vers la loi du demi-cercle^[1].