Loi de Gauss-Kuzmin
En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparaît comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur [3]. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800[4], et de Rodion Kuzmin qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929[5],[6] par l'intermédiaire de la fonction de masse :
Loi Gauss-Kuzmin | |
Support | |
---|---|
Fonction de masse | |
Fonction de répartition | |
Espérance | |
Médiane | |
Mode | |
Variance | |
Asymétrie | (non définie) |
Kurtosis normalisé | (non défini) |
Entropie | 3.4325275[1],[2]... |
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Théorème de Gauss-Kuzmin
Soit une variable aléatoire uniforme sur
et
son développement en fraction continue. Alors
Ou de manière équivalente, en notant alors
converge vers 0 quand tend vers l'infini.
Vitesse de convergence
En 1928, Kuzmin donne la borne
.
En 1929, Paul Lévy[7] l'améliore en majorant
.
Plus tard, Eduard Wirsing montre[8],[9] que pour (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing[10]), la limite
existe pour tout , et la fonction
est analytique et satisfait
. D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko[11].