Loi de Fréchet

Sa fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-x^{-\alpha }}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \alpha >0}$ est un paramètre de forme. Cette loi peut être généralisée en introduisant un paramètre de position m du minimum et un paramètre d'échelle s>0. La fonction de répartition est alors :

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}&{\text{ si }}x>m\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La loi de Fréchet de paramètre ${\displaystyle \alpha }$ a des moments standards :

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}$ ,

(avec ${\displaystyle t=x^{-\alpha }}$ ) définis pour ${\displaystyle k<\alpha }$  :

${\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}$

où ${\displaystyle \Gamma (z)}$ est la fonction Gamma.

En particulier :

• Pour ${\displaystyle \alpha >1}$ l'espérance est ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• Pour ${\displaystyle \alpha >2}$ la variance est ${\textstyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\frac {2}{\alpha }})-\left(\Gamma (1-{\frac {1}{\alpha }})\right)^{2}}$ .

Le quantile ${\displaystyle q_{y}}$ d'ordre ${\displaystyle y}$ peut être exprimé grâce à l'inverse de la fonction de répartition :

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=(-\ln y)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$ .

En particulier la médiane est :

${\displaystyle q_{1/2}=(\ln 2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$ .

Le mode de la loi de Fréchet est ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$ .

Pour la loi de Fréchet à trois paramètres, le premier quartile est ${\textstyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\ln(4)}}}}$ et le troisième quartile est ${\textstyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\ln \left({\frac {4}{3}}\right)}}}}$ .

L'asymétrie de la loi de Fréchet est :

${\displaystyle {\begin{cases}\ {\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\sqrt {\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{3}}}}&{\text{pour }}\alpha >3\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}}$

le kurtosis est :

${\displaystyle {\begin{cases}\ -6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}&{\text{pour }}\alpha >4\\\ \infty &{\text{sinon}}\end{cases}}}$

En hydrologie, la loi de Fréchet s'utilise pour des évènements extrêmes tels que le maximum annuel des précipitations journalières ou le débit des rivières^[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de Fréchet du maximum annuel des précipitations journalières en Oman, montrant également la bande de confiance de 90 % basée sur la loi binomiale.

• Si ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (loi uniforme continue) alors ${\displaystyle m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ alors ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,}$
• Si ${\displaystyle X_{i}={\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ et ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,}$ alors ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)\,}$ (loi de Weibull) alors ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}}{X}}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$