Loi de Benktander

La distribution de Pareto est une loi exponentielle de paramètre ${\textstyle \ln(x/x_{m})}$ où ${\displaystyle x_{m}}$ est un paramètre de position. Ainsi apparait un paramètre d'échelle exponentiel : ${\textstyle e(x):={\frac {x}{x_{m}}}}$ . Afin de mieux correspondre aux valeurs empiriques économiques, deux autres paramètres d'échelle exponentiels sont définis par :

${\displaystyle {\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\ln(x)}}&{\text{ pour }}a>0{\text{ et }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ pour }}a>0{\text{ et }}0<b\leq 1\end{cases}}}$

Ces deux nouveaux paramètres permettent de définir les deux types de la loi de Benktander.

Les deux changements d'échelle précédents permettent de définir les deux fonctions de répartition des lois de Benktander de type I et de type II :

Pour le type I :

${\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b\ln(x)}\left(1+{\tfrac {2b\ln(x)}{a}}\right)&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Pour le type II :

${\displaystyle F_{II}(x)={\begin{cases}1-\exp \left({\frac {a(1-x^{b})}{b}}\right)x^{b-1}&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Par dérivation, on obtient les deux densités de probabilité :

Pour le type I :

${\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\ln(x)\right)\left(1+{\tfrac {2b\ln(x)}{a}}\right)\right)&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Pour le type II :

${\displaystyle f_{II}(x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {a(1-x^{b})}{b}}\right)x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Les moyennes des deux types sont égales à ${\textstyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}$ . Les variances sont données par :

${\displaystyle \mathrm {Var} (X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+a\mathrm {e} ^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}}$

et

${\displaystyle \mathrm {Var} (X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2\mathrm {e} ^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}}$

où ${\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}$ , ${\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}$ , erfc est la fonction d'erreur et ${\textstyle {\rm {E}}(n,x)}$ est l'exponentielle intégrale généralisée.

• ${\displaystyle \lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)}$