Loi de Bates

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi d'Irwin-Hall qui est la somme de telles variables aléatoires.

Définition

La loi de Bates est la loi de probabilité de la moyenne arithmétique de $n$ variables aléatoires $U 1, U 2, ... , U n$ iid de loi uniforme continue sur l'intervalle $[0 ; 1]$ :

X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.

La densité de probabilité de la loi de Bates est donnée par la formule suivante^[2] :

f_{X}(x;n)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}&{\text{ pour }}x\in ]0,1[\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}

Plus généralement, la moyenne de $n$ variables aléatoires indépendantes et uniformes sur $[a, b]$ :

X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b)

a pour densité de probabilité

g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ pour }}a\leq x\leq b.\,

« (en) BatesDistribution », sur Wolfram Mathematica-Documentation center (consulté le 2 mars 12)

Loi de Bates
Densité de probabilité



Paramètres	$-\infty <a<b<\infty \,$ n >1 réel
Support	$x\in [a,b]$
Densité de probabilité	${\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}$ pour $x\in ]0;1[$
Espérance	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Variance	${\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}$
Asymétrie	0
Kurtosis normalisé	$-{\tfrac {6}{5n}}$
Fonction caractéristique	$\left[-{\frac {\mathrm {i} n\left(\mathrm {e} ^{\tfrac {ibt}{n}}-\mathrm {e} ^{\tfrac {\mathrm {i} at}{n}}\right)}{(b-a)t}}\right]^{n}$
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