Loi bêta-binomiale négative

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta-binomiale négative est la loi de probabilité discrète d'une variable aléatoire X égale au nombre d'échecs nécessaires pour obtenir n succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli où la probabilité p du succès est une variable aléatoire de loi bêta. La loi est alors une loi mélangée.

Loi Bêta-binomiale négative
Paramètres	${\displaystyle \alpha >0}$, paramètre de forme ${\displaystyle \beta >0}$, paramètre de forme ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
Support	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}}$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {n^{(k)}\alpha ^{(n)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(n)}(n+\alpha +\beta )^{(k)}}}}$ où ${\displaystyle x^{(n)}}$ est le symbole de Pochhammer croissant
Espérance	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {n\beta }{\alpha -1}}&{\text{si}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}$
Variance	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{si}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}$
Asymétrie	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2n-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{si}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}$
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Cette loi a également été appelée la loi inverse Markov-Pólya et la loi de Waring généralisée^[1]. Une version avec dérive de cette loi a été appelée la loi bêta-Pascal^[1].

Si les paramètres de la loi bêta sont ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$, et si

${\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (n,p),}$

où

${\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}$

alors la loi marginale de X est la loi bêta-binomiale négative :

${\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (n,\alpha ,\beta ).}$

Dans les notations ci-dessus, ${\displaystyle \mathrm {NB} (n,p)}$ est la loi bêta-binomiale et ${\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}$ est la loi bêta.