Loi arc sinus

Une variable aléatoire X suit la loi arc sinus standard si sa fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}},\forall {x}\in [0;1]}$

pour 0 ≤ x ≤ 1, et dont la densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

sur ]0 ; 1[. La loi arc sinus standard est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres α = β = 1/2. Ainsi, si X est de loi arc sinus standard alors ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}).}$

Loi arc sinus – support borné
Paramètres	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Support	${\displaystyle x\in [a,b]}$
Densité de probabilité	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Médiane	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Mode	${\displaystyle x\in {]a,b[}}$
Variance	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
Asymétrie	${\displaystyle 0}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
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La loi peut être étendu à tout support borné [a ; b] par une simple transformation de la fonction de répartition

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

pour a ≤ x ≤ b, la densité de probabilité est ainsi

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

sur ]a ; b[. Cette loi est notée arcsinus(a,b).

La loi arc sinus standard généralisée sur ]0 ; 1[. avec pour densité de probabilité

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

est également un cas spécial de la loi bêta de paramètres ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$ . Le paramètre α est appelé paramètre de forme. Lorsque α = 1/2, cette loi est la loi arc sinus standard.

• La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif :
  • Si ${\displaystyle X\sim {\operatorname {arcsinus} }(a,b)\ {\text{alors }}kX+c\sim {\operatorname {arcsinus} }(ak+c,bk+c)}$ .
• La loi arc sinus sur ]–1 ; 1[ mise au carré est la loi arc sinus sur ]0 ; 1[ :
  • Si ${\displaystyle X\sim {\operatorname {arcsinus} }(-1,1)\ {\text{alors }}X^{2}\sim {\operatorname {arcsinus} }(0,1)}$ .

• Si U et V sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme continue sur ]–π ; π[, alors sin(U), sin(2U), –cos(2U), sin(U + V), et sin(U - V) ont toutes la loi arc sinus standard.
• Si X est de loi arc sinus généralisée de paramètre de forme α et avec pour support l'intervalle fini [a ; b], alors ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$ .

On considère la marche aléatoire (S_n) définie comme la valeur atteinte après n lancers d'une pièce de monnaie équilibrée (pile = +1, face = -1). T_n est la variable aléatoire définie comme le dernier instant où S a atteint 0 sur [0 , 2n] :

${\displaystyle T_{n}=\max\{0\leq k\leq 2n,S_{k}=0\}}$

Alors la variable aléatoire T_n/S_2n converge en loi vers la loi arc sinus.

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