Lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz
En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz[1].
Énoncé
Lemme KKM : Si un simplexe Δm est réunion des ensembles fermés pour
et que pour tout
, la face de Δm engendrée par
pour
est contenue dans la réunion des
pour
alors les
ont une intersection non vide.
Donnons une illustration dans le cas m = 3. Le simplexe Δ3 est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Les hypothèses sont alors que le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés , que le sommet i appartient à
, que le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de
et
, que le côté 23 est contenu dans la réunion de
et
, et que le côté 31 est contenu dans la réunion de
et
. Le lemme affirme que, dans ces conditions, les trois ensembles
ont au moins un point en commun.
Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).
Notes et références
Lien externe
(en) « KKM lemma », sur PlanetMath