j (nombre complexe)
En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.
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où exp désigne l'exponentielle complexe.
Le nombre j ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire i qui est souvent notée j en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est i).
Propriétés
Le nombre j possède certaines propriétés remarquables :
- comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à j2) ;
- les racines cubiques de l'unité sont 1, j et j2 ; leur somme est nulle car j est racine du polynôme X3 – 1 = (X – 1)(X2 + X + 1) ;
- dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, j et j2 forment un triangle équilatéral ;
- le calcul de j3 ramène par définition à j3 = 1.
Application au calcul des racines cubiques
Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si z est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont j z et j2z.
