Fonction C^∞ à support compact

La fonction d'une variable ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie par

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}{\rm {e}}^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ si }}|x|<1\\0&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}}$

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne e^–y2 qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables y² = 1/(1 – x²) qui envoie x = ±1 sur y = ∞.

Un exemple simple de fonction C^∞ à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :

${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$

Sur Ω = ℝⁿ, la fonction

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}\right)&{\text{si }}\|x\|<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

est C^∞ et son support est la boule fermée B(0, 1) pour la norme ║.║ utilisée.

• Une fonction C^∞ à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité.
• L'espace des fonctions C^∞ à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions C^∞ à support compact est encore une fonction C^∞ à support compact.

On munit 𝒟(Ω) de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble ${\displaystyle V\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m > 0 tel que V contienne l'ensemble suivant :

${\displaystyle A_{K,m}:=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )~\left|~\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq m}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }\leq 1/m\right.\right\},}$

où ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )}$ désigne l'ensemble des fonctions de ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ dont le support est inclus dans K, et ‖f‖_∞ est la norme de f au sens de la convergence uniforme (pour f continue à support compact, c'est le maximum global de |f|).

Autrement dit, si Ω est la réunion d'une suite croissante de compacts K_n, une base de voisinages de 0 est constituée des ${\displaystyle V_{m}:=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{K_{n},m_{n}}}$ , quand ${\displaystyle m=(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans ℕ*.

Muni de cette topologie, ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ est un espace localement convexe, non métrisable^[1] puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet^[1] (il est même complet^[2]).

Dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}$ la convergence vers 0 d'une suite de fonctions φ_n se traduit par l'existence d'un compact K de Ω, contenant les supports de toutes les φ_n à partir d'un certain rang, et tel que φ_n ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur K.