En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales[1]. Elle a ensuite était généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en)[2].
Soit un segment de . Dans la suite, désigne l'espace des fonctions continues sur ou l'espace des fonctions p-intégrables sur .
Soit une fonction continue. On considère l'opérateur de noyau :
On se place sur et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue
On peut essayer de discrétiser cette équation :
- en l'évaluant sur une famille de points équirépartis dans l'intervalle : .
- en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : .
On obtient alors, pour chaque , un système linéaire d'équations
où les inconnues sont les . Heuristiquement on peut espérer comprendre en analysant le comportement de dans la limite .
Or on montre[3] que le déterminant du système linéaire homogène associé à vaut :
où est la somme des mineurs principaux d'ordre de . Comme de plus
on est donc amené à considérer la série "limite des " :
C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur . Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit[4].
La série entière a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.
Pour tout , on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur la quantité La fonction est alors analytique sur . En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.
Dans cette section, on suppose que est de rang fini.
Soient les valeurs propres de comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit[5] :
Comme et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.
Soit . Pour assez petit, on a[5] :
Remarques :
- La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;
- Pour tout , l'indice de l'opérateur est donc nul.