Constante de Lebesgue (séries de Fourier)

On se place, sans perte de généralité, sur l'intervalle [–π, π]. On considère une fonction f intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre n de sa série de Fourier :

${\displaystyle S_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)~{\rm {d}}t,\quad {\text{avec}}\quad D_{n}(t)={\frac {\sin(2n+1){\frac {t}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}}$ (noyau de Dirichlet).

Si, pour tout t réel, |f(t)| ≤ 1, alors :

${\displaystyle |S_{n}(f,x)|\leqslant {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }|D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t=:\mathrm {L} _{n}}$ .

C'est cette valeur L_n qui est appelée la n-ième constante de Lebesgue. Elle est optimale, même en se restreignant aux fonctions f continues^[1].

Léopold Fejér^[2] en a trouvé une autre expression :

${\displaystyle \mathrm {L} _{n}={\frac {1}{2n+1}}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m}}\tan {\frac {m\pi }{2n+1}}}$ .

Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont^[3] :

• ${\displaystyle \mathrm {L} _{0}=1}$  ;
• ${\displaystyle \mathrm {L} _{1}={\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\approx 1{,}435991}$ (suite A226654 de l'OEIS) ;
• ${\displaystyle \mathrm {L} _{2}={\frac {1}{5}}+{\frac {\sqrt {25-2{\sqrt {5}}}}{\pi }}\approx 1{,}642188}$ (  A226655).

On sait que^[3] :

${\displaystyle \mathrm {L} _{n}={\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln(2n+1)+c+o(1)}$ avec

${\displaystyle c={\frac {4}{\pi ^{2}}}\!\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\ln k}{4k^{2}-1}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}\right)\approx 0{,}989433}$ (  A243277), où Γ est la fonction gamma.