Conjecture de Painlevé

Soit ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ une solution du problème à n corps défini par ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$ (où ${\displaystyle \mathbf {p} }$ est le vecteur des positions des corps, ${\displaystyle \mathbf {q} }$ est le vecteur de leurs quantités de mouvement, M est la matrice des couples de masses et U désigne le potentiel gravitationnel) ; elle est dite singulière s'il existe une séquence de temps ${\displaystyle t_{n}}$ convergeant vers un temps fini ${\displaystyle t^{*}}$ où ${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$ . Autrement dit, les forces et les accélérations de certains corps deviennent infinies à un moment donné dans le temps.

Une singularité de collision se produit si ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ tend vers une limite définie lorsque ${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$ . Si la limite n'existe pas, la singularité est appelée pseudo - collision ou singularité de non-collision. Paul Painlevé a montré que pour n = 3 toute solution avec une singularité en temps fini subit une singularité de collision. Cependant, il n'a pas réussi à étendre ce résultat au-delà de 3 corps. Ses conférences de Stockholm de 1895 se terminent par la conjecture que :

Pour n ≥ 4 le problème à n corps admet des singularités sans collision^[6],[7].

Edvard Hugo von Zeipel a prouvé en 1908 que s'il existe une singularité de collision, alors ${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$ tend vers une limite définie lorsque ${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$ , où ${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$ est le moment d'inertie^[8]. Cela implique qu'une condition nécessaire pour une singularité de non-collision est que la vitesse d'au moins une particule devient illimitée (puisque les positions ${\displaystyle \mathbf {q} }$ restent finies jusqu'à ce point)^[1].

Mather et McGehee ont réussi à prouver en 1975 qu'une singularité de non-collision peut se produire dans le problème colinéaire à 4 corps (c'est-à-dire avec tous les corps sur une ligne), mais seulement après un nombre infini de collisions binaires (régularisées)^[9].

Donald Gene Saari a prouvé en 1977 que pour presque toutes (au sens de la mesure de Lebesgue) les conditions initiales dans le plan ou l'espace pour les problèmes à 2, 3 et 4 corps, il existe des solutions sans singularité^[10].

En 1984, Joe Gerver a donné un argument pour une singularité sans collision dans le problème plan à 5 corps sans collisions^[11] (il a par la suite, partant de cet argument, obtenu une preuve rigoureuse pour le cas de 6 corps^[12]).

Enfin, dans sa thèse de doctorat de 1988, Jeff Xia a exhibé une configuration à 5 corps qui connaît une singularité sans collision^[3],[4].En 2003, Joe Gerver a donné un modèle heuristique pour l'existence de singularités à 4 corps^[13].

Dans sa thèse de doctorat de 2013 à l'Université du Maryland, Jinxin Xue a envisagé un modèle simplifié pour le cas du problème planaire à quatre corps. Sur la base du modèle de Gerver de 2003, il a prouvé qu'il existe un ensemble de conditions initiales (formant un ensemble de Cantor) qui conduisent à des solutions du système hamiltonien dont les vitesses sont accélérées à l'infini en un temps fini en évitant toutes les collisions antérieures. En 2014, Xue a étendu ses travaux précédents et a prouvé la conjecture pour n = 4^[14],[5].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Painlevé' conjecture » (voir la liste des auteurs).