Catégorie des groupes abéliens

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

• Les objets sont les groupes abéliens ;
• Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes.

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  :

${\displaystyle \mathrm {Ab} \simeq \mathbb {Z} {\text{-}}\mathrm {Mod} }$ .

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe ${\displaystyle U:\mathrm {Ab} \to \mathrm {Set} }$ . Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre ${\displaystyle F:\mathrm {Set} \to \mathrm {Ab} }$ qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

• Ab est concrète ;
• Ab est une catégorie complète et cocomplète ;
• Ab est préadditive et additive ;
• Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ;
• Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ;
• Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ;
• Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ;
• Ab est une catégorie de Grothendieck (en) ;

• L'objet initial, final et zéro de Ab est le groupe trivial 1 ;
• Les objets injectifs (en) de Ab sont les groupes divisibles^[1] ;
• Les objets projectifs sont les groupes abéliens libres ;
• Ab n'a pas d'objet exponentiel ;
• Le générateur projectif de Ab est ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  ;
• Le cogénérateur injectif de Ab est ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$  ;

• Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ;
• Les épimorphismes sont les morphismes de groupes surjectifs ;
• Les isomorphismes sont les morphismes de groupes bijectifs ;

• Le produit dans Ab est le produit direct de groupes ;
• Le coproduit dans Ab correspond à la somme directe de groupes ;
• Le noyau correspond au noyau au sens algébrique ;
• Le conoyau d'un morphisme f : A → B est le groupe quotient B/f(A).