Fonction de croissance de von Bertalanffy

Supposons que, pour une espèce de poisson donnée, les paramètres soient estimés comme suit :

• ${\displaystyle L_{\infty }}$ = 100 cm
• ${\displaystyle K}$ = 0,2 par an
• ${\displaystyle t_{0}}$ = -1 an

La longueur du poisson en centimètres à l'année ${\displaystyle t}$ peut être calculée en substituant ces valeurs dans l'équation :

${\displaystyle L(t)=100\left(1-\mathrm {e} ^{-0,2(t+1)}\right)}$

Ainsi, pour ${\displaystyle t=5}$  :

${\displaystyle L(5)=100\left(1-\mathrm {e} ^{-0,2(5+1)}\right)=100\left(1-\mathrm {e} ^{-1,2}\right)\approx 100\times 0,6988}$ .

Donc, à l'âge de 5 ans, la longueur moyenne du poisson serait d'environ 69,88 cm.

Cette équation est utilisée en écologie et en gestion des pêches pour modéliser la croissance des populations de poissons et d'autres organismes marins. En ajustant les paramètres ${\displaystyle L_{\infty }}$ , ${\displaystyle k}$ , et ${\displaystyle t_{0}}$ à des données empiriques, les scientifiques peuvent prédire la taille future des populations et mieux comprendre les dynamiques de croissance dans divers environnements.

Cette fonction dépend de trois paramètres qu'il s'agit d'estimer à l'aide d'observations statistiques.

Le paramètre ${\displaystyle t_{0}}$ peut parfois être estimé à zéro ; il suffit pour cela de compter l'âge du poisson seulement à partir du moment où sa croissance est effective.

Les méthodes pour évaluer la taille asymptotique du poisson (${\displaystyle L_{\infty }}$ , ainsi que son coefficient de croissance ${\displaystyle K}$ , sont nombreuses.

Une de celles-ci consiste à déterminer ${\displaystyle K}$ puis ${\displaystyle L_{\infty }}$ à l'aide de deux régressions linéaires.

Un échantillon de poissons est observé. Ceux-ci sont rangés par tranche d'âge ${\displaystyle t_{i}}$ . Pour chaque tranche on calcul la taille moyenne des poissons ${\displaystyle L_{i}}$ .

Si ${\displaystyle L_{\infty }}$ est évalué en amont, la formule de base donne :${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {L(t)}{L_{\infty }}}\right)=-K(t-t_{0})}$ Les points de coordonnées ${\displaystyle \left(t_{i},\ln \left(1-{\frac {L(t_{i})}{L_{\infty }}}\right)\right)}$ doivent donc être proches d'une droite ayant -K comme coefficient directeur^[1].

Sinon, en observant que ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}(t)=KL_{\infty }\mathrm {e} ^{-K(t-t_{0})}}$ et en en prenant le logarithme, il vient :${\displaystyle \ln \left({\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}(t)\right)=-Kt+Kt_{0}+ln(K)+\ln(L_{\infty })=-Kt+b}$ .

En approchant ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}(t)}$ par ${\displaystyle {\frac {L_{i+1}-L_{i}}{t_{i+1}-t_{i}}}}$ et ${\displaystyle t}$ par ${\displaystyle {\frac {t_{i+1}+t_{i}}{2}}}$ , il vient que les points de coordonnées ${\displaystyle \left({\frac {t_{i+1}+t_{i}}{2}},\ln \left({\frac {L_{i+1}-L_{i}}{t_{i+1}-t_{i}}}\right)\right)}$ doivent se trouver proches d'une droite ayant ${\displaystyle -K}$ comme coefficient directeur^[1].

Si ${\displaystyle K}$ est connu, la formule de base donne :${\displaystyle L(t)=L_{\infty }-L_{\infty }\mathrm {e} ^{Kt_{0}}\mathrm {e} ^{-Kt}}$ .${\displaystyle \mathrm {e} ^{K}L(t+1)=\mathrm {e} ^{K}L_{\infty }-L_{\infty }\mathrm {e} ^{Kt_{0}}\mathrm {e} ^{-Kt}}$ .

et donc :${\displaystyle L_{\infty }={\frac {e^{K}L(t+1)-L(t)}{e^{K}-1}}}$ .La taille asymptotique ${\displaystyle L_{\infty }}$ peut alors est évaluée comme la moyenne^[1] des ${\displaystyle {\frac {e^{K}L_{i+1}-L_{i}}{e^{K}-1}}}$ .