Studentin t-jakauma

Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jota hyödynnetään normaalijakautuneiden populaatioiden keskiarvon tarkastelussa kun otoskoko on pieni. Yleisesti käytetty t-testi perustuu t-jakaumaan.

Studentin t-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	ν > 0 vapausaste (reaalinen)
Määrittelyjoukko	x ∈ (−∞; +∞)
Tiheysfunktio	${\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ missä 2F1 on hypergeometrinen funktio
Odotusarvo	0 kun ν > 1, muulloin määrittelemätön
Mediaani	0
Moodi	0
Varianssi	${\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ kun ν > 2, ∞ kun 1 < ν ≤ 2, muulloin määrittelemätön
Vinous	0 kun ν > 3, muulloin määrittelemätön
Huipukkuus	${\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ kun ν > 4, ∞ kun 2 < ν ≤ 4, muulloin määrittelemätön
Entropia	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\end{matrix}}}$ ψ: digamma-funktio, B: beta-funktio
Momentit generoiva funktio	määrittelemätön
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}}$ kun ν > 0 Kν(x): toisen tyypin modifioitu Besselin funktio[1]

Kun satunnaismuuttuja X noudattaa t-jakaumaa, sen tiheysfunktio on:

${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2},}$

jonka parametria ${\displaystyle \nu }$ kutsutaan vapausasteeksi, ja ${\displaystyle \Gamma }$ on gammafunktio.

Jakauman kertymäfunktio on:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(u)\,du=\left\{{\begin{matrix}1-{\frac {1}{2}}I_{y}(\nu /2,1/2)&{\mbox{kun}}\quad x>0,\\\\{\frac {1}{2}}I_{y}(\nu /2,1/2)&{\mbox{muulloin}},\end{matrix}}\right.}$

jossa ${\displaystyle I_{y}}$ on epätäydellisen ja täydellisen beta-funktion suhde (engl. regularized beta function)

${\displaystyle I_{y}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{y}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}\!}$

ja

${\displaystyle y={\frac {1}{1+x^{2}/\nu }}.}$

t-jakauma muistuttaa muodoltaan odotusarvolla 0 ja varianssilla 1 jakautunutta normaalijakaumaa, mutta sillä on paksummat hännät. Vapausasteiden kasvaessa se lähestyy kyseistä normaalijakaumaa. t-jakaumalla on myös yhteys F-jakaumaan: ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ noudattaa F-jakaumaa 1 ja ${\displaystyle \nu }$ vapausasteella.