Korteweg-de Vries -yhtälö

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle φ kahdessa ulottuvuudessa, paikassa x ja ajassa t:

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0,\,}$

jossa ∂_x merkitsee osittaisderivaattaa x:n ja ∂_t t:n suhteen.

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella v ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä t = 0 kohdassa x. Otetaan käyttöön uusi muuttuja z = x − vt ja funktio f(z) = φ(x, t). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen differentiaaliyhtälö

${\displaystyle \,\!f'''+6ff'-vf'=0,}$

joka voidaan integroida z:n suhteen ja saadaan

${\displaystyle \,\!f''+3f^{2}-vf+C=0.}$

Tässä muuttuja C on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun f(z):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis f(z) lähestyy 0 kun z→±∞. Tästä seuraa, että vakio C = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä f':lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{2}}\,v\,{\frac {1}{\cosh ^{2}\left[{{\sqrt {v}} \over 2}(x-vt-x_{0})\right]}},}$

jossa x₀ merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä t = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa solitonia.

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta ^[2]. Ne voidaan laskea kaavalla

${\displaystyle I_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{2n}(\phi ,\partial _{x}\phi ,\partial _{xx}^{2}\phi ,\ldots ){\textrm {d}}x,\quad \forall n\geq 0,}$

jossa P_i lasketaan kaavalla

${\displaystyle P_{0}=\phi }$

${\displaystyle P_{n+1}=-\partial _{x}P_{n}+\sum _{k=0}^{n-1}P_{k}P_{k-n-1},\quad \forall n\geq 1.}$

Tästä saadaan muun muassa suureet:

• liikemäärä ${\displaystyle I_{0}=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,t){\textrm {d}}x}$
• energia ${\displaystyle I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,t)^{2}{\textrm {d}}x}$
• ${\displaystyle I_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }2\phi (x,t)^{3}-(\partial _{x}\phi (x,t))^{2}{\textrm {d}}x}$

KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun John Scott Russell havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat Lord Rayleigh ja Joseph Boussinesq 1870-luvulla ^[3] ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti ^[4] ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.