Jacobin elliptiset funktiot

Olkoon ensimmäisen lajin elliptinen integraali määritelty Legendren muodossa

${\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$ ,

missä ${\displaystyle \phi =\mathrm {amp} \;u\,}$ on elliptisen integraalin amplitudi. Määritellään uusi funktio siten, että

${\displaystyle \mathrm {sn} \;u=\sin \phi \,}$ .

Vastaavasti toinen funktio saadaan kosinin avulla

${\displaystyle \mathrm {cn} \;u=\cos \phi }$ .

Kolmas funktio on

${\displaystyle \mathrm {dn} \;u={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}$ .

Nämä ovat kolme ensimmäistä Jacobin elliptistä funktiota. Viimeistä funktiota kutsutaan joskus myös delta amplitudiksi. Trigonometristen funktioiden tapaan näille on voimassa

${\displaystyle \mathrm {sn} ^{2}u+\mathrm {cn} ^{2}u=1\,}$

ja funktion ${\displaystyle dn}$ määritelmästä nähdään, että

${\displaystyle \mathrm {dn} ^{2}u+k^{2}\mathrm {sn} ^{2}u=1\,}$ .

Lisää Jacobin elliptisiä funktioita saadaan edellisten osamäärinä. Huomaa kuinka uusien funktioiden nimet muodostuvat:

${\displaystyle \mathrm {sc} \;u={\frac {\mathrm {sn} \;u}{\mathrm {cn} \;u}}}$

${\displaystyle \mathrm {sd} \;u={\frac {\mathrm {sn} \;u}{\mathrm {dn} \;u}}}$

${\displaystyle \mathrm {cd} \;u={\frac {\mathrm {cn} \;u}{\mathrm {dn} \;u}}}$

Kaikille funktioille voidaan kirjoittaa käänteisfunktio periaatteella

${\displaystyle \mathrm {sn} ^{-1}\;u=\mathrm {ns} \;u={\frac {1}{\mathrm {sn} \;u}}}$

Jacobin elliptisillä funktioilla on yhteys sekä trigonometrisiin funktioihin että hyperbolisiin funktioihin elliptisen modulin ${\displaystyle k}$ kautta ja elliptisiä funktioita voidaan pitää näiden alkeisfunktioiden kaksijaksoisina yleistyksinä. Trigonometrisiin funktioihin ovat voimassa relaatiot

${\displaystyle \mathrm {sn} (x,0)=\sin x\,}$

${\displaystyle \mathrm {cn} (x,0)=\cos x\,}$

${\displaystyle \mathrm {dn} (x,0)=1\,}$

ja hyperbolisiin funktioihin

${\displaystyle \mathrm {sn} (x,1)=\mathrm {tanh} \;x\,}$

${\displaystyle \mathrm {cn} (x,1)=\mathrm {dn} (x,1)=\mathrm {sech} \;x\,}$

Jacobin elliptiset funktiot ratkaisevat eräitä epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden yhtälöiden yleinen muoto on

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=A+By+Cy^{2}+Dy^{3}}$ ,

missä A, B, C ja D ovat vakioita. Esimerkiksi funktio ${\displaystyle y=\mathrm {sn} (x,k)\,}$ toteuttaa yhtälöt

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(1+k^{2})y-k^{2}y^{3}=0\;}$ sekä

${\displaystyle ({\frac {dy}{dx}})^{2}-(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})=0}$ .

Funktio ${\displaystyle y=\mathrm {cn} (x,k)\,}$ toteuttaa yhtälöt

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0\;}$ sekä

${\displaystyle ({\frac {dy}{dx}})^{2}-(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})=0}$

ja funktio ${\displaystyle y=\mathrm {dn} (x,k)\,}$ toteuttaa yhtälöt

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0\;}$ sekä

${\displaystyle ({\frac {dy}{dx}})^{2}-(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})=0}$

• Elliptiset funktiot
• Weierstrassin elliptiset funktiot

• Jacobin elliptiset funktiot Mathworldissa (englanniksi)