Ekvipotentiaali
Ekvipotentiaali eli isopotentiaali on matematiikassa ja fysiikassa avaruuden alue, jonka jokaisessa pisteessä jonkin vektorikentän potentiaalilla on sama arvo.[1][2] Tavallisimmin kyseessä on tällöin skalaaripotentiaali, mutta käsitettä voidaan soveltaa myös vektoripotentiaaleihin.[3] Vektorikentän skalaaripotentiaali on reaaliarvoinen funktio, jonka gradientin arvot avaruuden eri pisteissä muodostavat kyseisen vektorikentän. Yleensä n-ulotteisessa avaruudessa skalaaripotentiaalifunktion ekvipotentiaali on n-1 -ulotteinen. Jos kenttä kuitenkin on jollakin avaruuden n-ulotteisella alueella nolla, käsittää ekvipotentiaali koko tämän alueen.
Ekvipotentiaalipinta
Kolmiulotteisessa avaruudessa määritellyn skalaaripotentiaalin ekvipotentiaalit ovat normaalisti pintoja, ja niitä sanotaan usein ekvipotentiaalipinnoiksi[4] nivoopinnoiksi[5][6] vakiopotentiaalipinnoiksi.[7] tai suomeksi myös tasa-arvopinnoiksi.[8] Ekvipotentiaali saattaa kuitenkin olla myös kolmiulotteinen avaruuden alue, mikäli kentän arvo kyseisellä alueella on kaikkialla nolla.
Kun ekvipotentiaali on pinta, skalaaripotentiaalin gradientti on kaikkialla kohtisuorassa tätä pintaa vastaan.[4][8] Kentän kenttäviivat ovat gradientin suuntaisia ja näin ollen ne leikkaavat ekvipotentiaalipinnat kaikkialla kohtisuorasti.[8] Jos taas ekvipotentiaali käsittää kokonaisen avaruuden alueen, on skalaaripotentiaali tällä alueella vakio, ja sen gradientti on koko alueella nolla.
Fysikaalisia esimerkkejä
Fysiikassa ekvipotentiaalin käsitettä käytetään varsinkin sähkökentän yhteydessä, mutta sitä voidaan soveltaa muihinkin konservatiivisiin kenttiin,[9] esimerkiksi gravitaatiokenttään.[10] Tällaisissa kentissä työ, joka tehdään hiukkasen siirtyessä pisteessä toiseen, riippuu vain alku- ja loppupisteestä, ei kuljetusta tiestä.[11] Kentässä liikkuvan kappaleen tai hiukkasen potentiaalienergia pysyy vakiona, jos se pysyy samalla ekvipotentiaalipinnalla, eikä pelkästään tällä pinnalla liikuttaessa tehdä työtä.
Sähkökentän ekvipotentiaalipinnat
Sähkökentän potentiaali on skalaarikenttä, joka määritellään siten, että sen gradientti kentän jokaisessa pisteessä on suuruudeltaan ja suunnaltaan sama kuin sähkökentän voimakkuus.[12] Kentän kahden pisteen välinen jännite on sama kuin näiden pisteiden potentiaalien erotus. Sähkökentän ekvipotentiaalipinnat ovat siis pintoja, joiden pisteiden välinen jännite on nolla. Jos tarkastellaan vain kentän kaksiulotteista poikkileikkausta, ekvipotentiaalit ovat käyriä, ja niitä voidaan verrata topografikarttaan merkittyihin korkeuskäyriin.[8]
Pistemäistä varausta ympäröivän sähkökentän ekvipotentiaalipinnat ovat samankeskisiä pallopintoja.Jos varaus on tasaisesti jakautunut ohueen sauvaan, sitä ympäröivän kentään kenttäviivat ovat muodoltaan hyperbelejä ja ekvipotentiaalipinnat pyörähdysellipsoideja, ja molempien polttopisteet ovat sauvan päätepisteissä. Kaukana varauksesta ekvipotentiaalipinnat lähestyvät muodoltaan pallopintaa, mikäli muita varauksia ei ole läsnä.[7]
Gravitaatiokentän ekvipotentiaalipinnat
Gravitaatiokentässä ekvipotentiaalipinnan muodostavat ne pisteet, joissa saman kappaleen potentiaalienergia on yhtä suuri. Tällaiset pinnat ovat kaikkialla kohtisuorassa painovoiman suuntaa vastaan. Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinnat ovat muodoltaan lähellä palloa, mutta riittävän pieni osa tällaista pintaa on likipitäen taso, joka määrittelee vaakasuoran suunnan kyseisellä alueella. Vaakasuoralle tasolle asetettu pallo ei lähde vierimään tasoa pitkin, koska kyseessä on ekvipotentiaalipinta. Erään tärkeän ekvipotentiaalipinnan Maan painovoimakentässä muodostaa geoidi eli meren pinnan taso ja sen ajatellut jatkeet mantereiden alla.
Kaksoistähden ympärillä pienin ekvipotentiaalipinta, jonka sisään molemmat tähdet jäävät, on kahdeksikon muotoinen Rochen raja. Jos jompikumpi tähdistä laajenee siinä määrin, että se ulottuu Rochen rajan ulkopuolelle, siitä vuotaa ainetta myös parin toiseen tähteen.[13]
Ekvipotentiaalinen avaruuden alue
Esimerkin tapauksesta, jossa potentiaali on vakio kokonaisella kolmiulotteisella avaruuden alueella, muodostaa ontto pallo ja sen gravitaatiokenttä. Tällaisen pallon sisäpuolella sen aiheuttama gravitaatiokenttä on nimittäin kaikkialla nolla, joten sen potentiaali on vakio. Staattisessa sähkökentässä jokainen johdekappale muodostaa kolmiulotteisen ekvipotentiaalialueen, koska sen sisällä kentän arvo on kaikkialla nolla. Jos johdekappale on ontto, kyseessä on Faradayn häkki, jolloin myös sen sisään jäävä alue kuuluu samaan ekvipotentiaalialueeseen.
Lähteet
Kirjallisuutta
- Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät. Moniste 381. Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2.