در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورتهای زیر طبقهبندی و خلاصه میشود.
باید دقت شود که هر قاعده نتیجهای است بدیهی و قابل اثبات که از طریق رابطهٔ اصلی مشتقگیری اثبات و بیان میشود، و از هر تابع دلخواه میتوان توسط آن رابطه بهطور مستقیم مشتق گرفت. این قواعد تنها برای سهولت و سرعت بیشتر در عمل مشتقگیری میباشند.
قواعد اولیهٔ مشتقگیری برای هر تابع دلخواه f و g و هر عدد حقیقی a داریم:
( a f ) ′ = a f ′ {\displaystyle (af)'=af'\,} ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,} ( f − g ) ′ = f ′ − g ′ . {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}
قاعده ضرب اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف میشود:
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}
قاعده زنجیری مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h (x ) = f (g (x )) تعریف میشود، به شکل زیر است:
h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}
این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.
مشتق توابع وارون اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:
g ′ = 1 f ′ ∘ g . {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
قاعده توان این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم مییابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.
قاعده خارج قسمت اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:
( f g ) ′ = f ′ g − g ′ f g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.
مشتق توابع نمایی و لگاریتمی
مشتق توابع مثلثاتی تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
( sin x ) ′ = cos x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,} ( cos x ) ′ = − sin x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,} ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,} ( tan x ) ′ = sec 2 x = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,} ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,} ( sec x ) ′ = sec x tan x {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,} ( arcsec x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,} ( csc x ) ′ = − csc x cot x {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,} ( arccsc x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,} ( cot x ) ′ = − csc 2 x = − 1 sin 2 x = − ( 1 + cot 2 x ) {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,} ( arccot x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}
مشتق توابع هذلولوی مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر میباشد:
( sinh x ) ′ = cosh x = e x + e − x 2 {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} ( arsinh x ) ′ = 1 x 2 + 1 {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}} ( cosh x ) ′ = sinh x = e x − e − x 2 {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} ( arcosh x ) ′ = 1 x 2 − 1 {\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} ( tanh x ) ′ = sech 2 x {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}} ( artanh x ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}} ( sech x ) ′ = − tanh x sech x {\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x} ( arsech x ) ′ = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}} ( csch x ) ′ = − coth x csch x {\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x} ( arcsch x ) ′ = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}} ( coth x ) ′ = − csch 2 x {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x} ( arcoth x ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}
جستارهای وابسته
منابع این قواعد در بسیاری از کتابها و سایتهای گوناگون وجود دارد. در اینجا یک مورد از آنها را ذکر میکنیم:
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .