قضیه وینر-خینشین

این قضیه را اولین بار نوربرت وینر در سال ۱۹۳۰ منتشر کرد^[۲]، و الکساندر خینشین به طور مستقل ^[۳]در سال ۱۹۳۴ آن را کشف و منتشر نمود. گفته می‌شود که آلبرت اینشتین این ایده را در یک نوشته مختصر در سال ۱۹۱۴ پیش بینی کرده بود^[۴].

برای فرایندهای پیوسته ^[۵]این قضیه بیان می‌کند که اگر ${\displaystyle x}$ یک فرایند ایستا در معنای وسیع باشد، به طوری که خودهمبستگی آن که بر حسب امید ریاضی آن به صورت زیر تعریف شده‌است:

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\ }$

وجود داشته و به ازای هر مقدار ${\displaystyle \tau }$ متناهی باشد، آنگاه یک تابع یک‌نوای ${\displaystyle F(f)}$ برای بسامدهای ${\displaystyle -\infty <f<\infty }$ وجود دارد به طوری که:

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f)}$

که در آن انتگرال از نوع انتگرال استیلتیس است.

برای فرایندهای گسسته زمان، چگالی طیف توان تابع ${\displaystyle x[n]\,}$ برابر است با

${\displaystyle S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-i(2\pi f)k}}$

که در آن

${\displaystyle r_{xx}[k]=\operatorname {E} {\big [}\,x[n]x^{*}[n-k]\,{\big ]}\ }$

همان تابع گسسته خودهمبستگی ${\displaystyle x[n]\,}$ - به شرط مطلقاً انتگرال پذیر بودن ${\displaystyle x}$ - است.

این قضیه برای بررسی سامانه‌های خطی تغییرناپذیر با زمان هنگام اعمال سیگنال‌هایی که تبدیل فوریه ندارند کاربرد دارد. ^[۶]

• تبدیل فوریه
• سامانه خطی تغییرناپذیر با زمان