بیان لگاریتمی بیان لگاریتمی این نوع تابعها در صفحهٔ مختلط عبارت است از:
arsinh z = ln ( z + z 2 + 1 ) , arcosh z = ln ( z + z + 1 z − 1 ) , artanh z = 1 2 ln 1 + z 1 − z , arcoth z = 1 2 ln z + 1 z − 1 . arcsch z = ln ( 1 z + 1 z 2 + 1 ) , arsech z = ln ( 1 z + 1 z + 1 1 z − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,),\\[2.5ex]\operatorname {arcosh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,),\\[1.5ex]\operatorname {artanh} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}},\\\operatorname {arcoth} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {z+1}{z-1}}.\\\operatorname {arcsch} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right),\\\operatorname {arsech} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right).\end{aligned}}} رادیکالها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم ، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز میگرداند، میتوان از برخی سادهسازیها مانند x + 1 x − 1 = x 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}} استفاده کرد که البته استفاده از این سادهسازی در حالت کلی درست نیست.
تابعهای وارون هذلولوی در صفحهٔ مختلط arsinh ( z ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)} arcosh ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)} artanh ( z ) {\displaystyle \operatorname {artanh} (z)} arcoth ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)} arsech ( z ) {\displaystyle \operatorname {arsech} (z)} arcsch ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)}
گسترش سریها برخی سریهای گسترش یافته را میتوان برابر با تابعهای زیر دانست:
arsinh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcosh x = ln 2 x − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + ⋯ ) = ln 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n ( 2 n ) , x > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}} artanh x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) , | x | < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}} arcsch x = arsinh 1 x = x − 1 − ( 1 2 ) x − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} arsech x = arcosh 1 x = ln 2 x − ( ( 1 2 ) x 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 6 6 + ⋯ ) = ln 2 x − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n 2 n , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}} arcoth x = artanh 1 x = x − 1 + x − 3 3 + x − 5 5 + x − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) , | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}} گسترش سری نامتناهی arsinh x که در بینهایت همگرا میشود، عبارت است از:
arsinh x = ln 2 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( 2 n ) ! ! 1 x 2 n {\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}
مشتقها d d x arsinh x = 1 1 + x 2 d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 d d x artanh x = 1 1 − x 2 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 d d x arsech x = − 1 x ( x + 1 ) 1 − x 1 + x d d x arcsch x = − 1 x 2 1 + 1 x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}} برای x های حقیقی نیز داریم:
d d x arsech x = ∓ 1 x 1 − x 2 ; ℜ { x } ≷ 0 d d x arcsch x = ∓ 1 x 1 + x 2 ; ℜ { x } ≷ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}} برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh x باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از:
d arsinh x d x = d θ d sinh θ = 1 cosh θ = 1 1 + sinh 2 θ = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
ترکیب تابعهای هذلولوی و وارون هذلولوی ترکیب تابعهای هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود:
sinh ( arcosh x ) = x 2 − 1 for | x | > 1 sinh ( artanh x ) = x 1 − x 2 for − 1 < x < 1 cosh ( arsinh x ) = 1 + x 2 cosh ( artanh x ) = 1 1 − x 2 for − 1 < x < 1 tanh ( arsinh x ) = x 1 + x 2 tanh ( arcosh x ) = x 2 − 1 x for | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sinh} (\operatorname {arcosh} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\operatorname {\sinh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arcosh} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
چند رابطهٔ دیگر
جستارهای وابسته
یادداشت و منبع
پیوند به بیرون