Eulerren formula

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sin} \left(x\right)

,

non :

x zenbaki erreala den;

e logaritmo naturalaren oinarria den;

i unitate irudikaria den;

sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

\ln(\cos x+i\sin x)=ix\,

non ln logaritmo naturala^[1] den.

Frogapena

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

$a$ -n zentratutako $f(x)$ funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

f(x)=\sum _{n=o}^{\infty }{C_{n}}{(x-a)^{n}}

$|x-a|<R$ , non

C_{n}={\frac {{f^{n}}(a)}{n!}}

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta $f(x)=e^{x}$ hartuz $a=0$ zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{{f^{n}}(0)}{x^{n}}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{...}

$(-\infty ,\infty )$ konbergentzia-tarteko edozein $x$ -rako

$x=1$ denean, aurreko ekuazioan, $e$ zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{...}

$x$ -ren ordez $ix$ ordezkatzen badugu, orduan:

e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{n}}{n!}}={\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}\cdot {x^{2n}}}{(2n)!}}}+i{\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n-1}}\cdot {x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}}

Aurreko ekuazioaren ( $e^{ix}$ ) batuketaren lehenengo zatia $cos(x)$ funtzioaren garapena da eta bigarren zatia $sin(x)$ -rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu: