Schrödingeri võrrand

Kõige üldisemalt võib Schrödingeri võrrandi kirja panna kujul

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle }$ ,

kus ${\displaystyle i\,}$ on imaginaarühik, ${\displaystyle \hbar }$ on taandatud Plancki konstant, ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ on süsteemi olekuvektor (ket-vektor), ${\displaystyle t}$ on aeg ja ${\displaystyle {\hat {H}}}$ on süsteemi Hamiltoni operaator.

Võrrandit on võimalik esitada ka ilma aja sõltuvuseta. See avaldub kujul

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$ ,

kus ${\displaystyle \Psi }$ on lainefunktsioon ja ${\displaystyle E}$ on süsteemi energia.

Kolmemõõtmelises ruumis asuvat spinnita osakest kirjeldab võrrand

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$

kus

• ${\displaystyle i\,}$ on imaginaarühik,
• ${\displaystyle \hbar }$ on taandatud Plancki konstant,
• ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ on osakese asukoht,
• ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ on lainefunktsioon, mille moodul annab tõenäosustiheduse leidmaks osakest punktist r ajahetkel t.
• ${\displaystyle m\,}$ on osakese mass.
• ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)}$ on osakese potentsiaalne energia punktis r hetkel t.
• ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ on Laplace'i operaator.

Antud süsteemi Hamiltoni operaator on seega kujul

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} ,t)}$ .

• Diraci võrrand
• Heisenbergi pilt
• Schrödingeri pilt
• Von Neumanni võrrand