Ta alustas klubikarjääri 2010. aastal Uruguay kõrgliiga klubis Central Español. Seejärel mängis ta aastatel 2011–2013 Uruguay kõrgliigas Nacionali ridades.
2013. aastal siirdus Vecino Itaalia kõrgliigasse, liitudes Fiorentinaga, kellega sõlmis nelja-aastase lepingu. Hooaja 2013–14 teises pooles mängis ta Cagliaris. Kogu hooaja 2014–15 mängis ta Empolis. Hooaegadel 2015–16 ja 2016–17 mängis ta Fiorentina põhikoosseisus.
2017. aastal sõlmis ta nelja-aastase lepingu Milano Internazionalega. Üleminekusumma oli arvatavalt 24 miljonit eurot.