Reaalmuutuja funktsioonide teooria

See artikkel räägib reaalarvude funktsioonide teooriast; kompleksarvude funktsioonide teooria kohta vaata artiklit kompleksmuutuja funktsioonide teooria

Reaalmuutuja funktsioonide teooria ehk funktsiooniteooria on reaalmuutuja funktsioonide üldine teooria.

See tekkis seoses reaalarvu ja funktsiooni mõiste formaliseerimisega. Erinevalt klassikalisest matemaatilisest analüüsist, kus vaadeldi ainult konkreetsetes ülesannetes loomulikult tekkivaid funktsioone, hakati uurima funktsioone endid, nende käitumist ja nende omaduste vahekordi. Üks tulemusi, mis illustreerib reaalmuutuja funktsioonide teooria spetsiifikat, on see, et pideval reaalmuutuja funktsioonil ei pruugi olla tuletist mitte ühelgi kohal (selle avastasid Bernard Bolzano ja hiljem Karl Weierstraß; varem arvati, et kõik pidevad funktsioonid on diferentseeruvad).

Reaalmuutuja funktsioonide teooria põhisuunad on:

• mõõduteooria, mis kasutab põhiliste instrumentidena hulga mõõdu ja mõõtuva funktsiooni mõistet, mille alusel tuuakse üldisemal moel kui klassikalises analüüsis sisse integreerimine ja diferentseerimine, tuuakse erilisel moel sisse koonduvuse mõiste ning uuritakse küllaltki laia katkevate funktsioonide klassi;
• deskriptiivne reaalmuutuja funktsioonide teooria, mis uurib funktsioonide klassifikatsioone deskriptiivse hulgateooria vahenditega (põhitulemus on Baire'i klassid);
• konstruktiivne funktsiooniteooria, mis uurib reaalmuutuja funktsioonide lähendamise ja interpoleerimise ülesandeid (seda arendasid Pafnuti Tšebõšov ja Sergei Bernštein).