enunciado que afirma que un conjunto de operadores lineales acotados puntualmente en un espacio de Banach está acotado uniformemente en la norma del operador
En el caso de que no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad utilizada en el supremo del primer término de esta última cadena de igualdades (que tiene un rango de sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango sobre la esfera unitaria cerrada).
Tomando el supremo sobre en la bola unitaria de y sobre se deduce que
.
También hay demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire (Sokal, 2011).
Corolarios
Corolario
Si una secuencia de operadores acotados converge puntualmente, es decir, el límite de existe para todos los , entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado .
El corolario anterior no afirma que converge a en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que está acotado en la norma del operador y el operador límite es continuo, una estimación estándar "" muestra que converge a de manera uniforme en conjuntos compactos.
Demostración
Esencialmente, se considera lo mismo que en la demostración de que una secuencia convergente puntual de funciones uniformemente continuas en un conjunto compacto converge en una función continua.
Por el principio de acotación uniforme, sea un límite superior uniforme de las normas del operador.
Se fija un compacto cualquiera. A continuación, para cualquier , se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad) con un conjunto finito de bolas abiertas de radio
Dado que es puntual para cada , para todos los grandes, es para todos los .
En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo grande, .
Corolario
Cualquier subconjunto débilmente acotado en un espacio normado está acotado.
De hecho, los elementos de definen una familia acotada puntualmente de formas lineales continuas en el espacio de Banach , que es el espacio dual de .Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de como funcionales en , es decir, las normas en el segundo dual están acotadas.Pero para cada la norma en el segundo dual coincide con la norma en , como una consecuencia del teorema de Hahn–Banach.
Sean los operadores continuos de a , dotados de norma de operador.Si la colección no está acotada en , entonces el principio de acotación uniforme implica que:
De hecho, es denso en . El complemento de en es la unión contable de conjuntos cerrados .Según el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada es denso en ninguna parte, es decir, el subconjunto es de primera categoría.Por lo tanto, es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, estos conjuntos (llamados exiguos o residuales) son densos.Tal razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades, que puede formularse de la siguiente manera:
Sea un espacio de Banach, una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada sea una familia ilimitada en Entonces, el conjunto
es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en
Demostración
El complemento de es la unión numerable
de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual es denso.
Ejemplo: convergencia puntual de la serie de Fourier
Sea el círculo y sea el espacio de Banach de funciones continuas en con norma del supremo. Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente.
donde es el -ésimo núcleo de Dirichlet. Ajústese y considérese la convergencia de El funcional definido por
está ligado.
La norma de en el dual de es la norma de la medida signada a saber
Se puede comprobar que
Entonces, la colección es ilimitada en el dual de Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en es denso en
Se puede concluir más aplicando el principio de condensación de singularidades.Sea una secuencia densa en Defínase de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada es denso en (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua converge a para casi cada por el teorema de Carleson).
Generalizaciones
En un espacio vectorial topológico (EVT) , el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann. Si también es normado o seminormado, supóngase que con (semi)norma, entonces un subconjunto está acotado (según von Neumann) si y solo si es una norma acotada, que por definición significa que
Los intentos de encontrar clases de espacios localmente convexos en las que se cumpla el principio de acotación uniforme finalmente condujeron a los espacios barrilados.Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki, 1987, Theorem III.2.1):
es un subconjunto acotado de .Si es un espacio vectorial normado, entonces esto sucede si y solo si existe algún real tal que En particular, si es una familia de aplicaciones de a y si , entonces la familia está uniformemente acotada en si y solo si existe algún subconjunto acotado de tal que lo que ocurre si y solo si es un subconjunto acotado de
Generalizaciones que involucran subconjuntos no exiguos
Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio no es un espacio de Baire.
y sea el conjunto de todos los , cuya órbita es un subconjunto acotado de Si es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en , entonces y son equicontinuos.
Cada subespacio vectorial propio de un EVT tiene un interior vacío en .[3] Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en , y por lo tanto, de la primera categoría (exiguo) en (y lo mismo también es cierto para todos sus subconjuntos).En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un EVT que sea de segunda categoría (no exiguo) en debe ser un subconjunto denso de (ya que de lo contrario, su cierre en sería un subespacio vectorial propio cerrado de , y por lo tanto, de primera categoría).[3]
Sean entornos equilibrados del origen en que satisfacen . Se debe demostrar que existe un entorno del origen en tal que para cada
Sea
,
que es un subconjunto cerrado de (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada también satisface y
(como se mostrará, el conjunto es de hecho un entorno del origen en porque el interior topológico de en no está vacío).Si , entonces está limitado en , lo que implica que existe algún número entero tal que , por lo que si entonces Dado que era arbitrario,
Esto prueba que
Debido a que es de segunda categoría en , lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos para algún La aplicación definida por es un homeomorfismo (sobreyectivo), por lo que el conjunto es necesariamente de segunda categoría en .Debido a que está cerrado y es de segunda categoría en , su interior en no está vacío.Elíjase .Debido a que la aplicación definida por es un homeomorfismo, el conjunto
es un entorno de en , lo que implica que lo mismo ocurre con su superconjunto Y así, por cada
Esto demuestra que es equicontinuo.Q.E.D.
Demostración de que :
Debido a que es equicontinuo, si está acotado en , entonces está acotado uniformemente en .En particular, para cualquier , dado que es un subconjunto acotado de , es un subconjunto uniformemente acotado de . Por lo tanto, .Q.E.D.
Secuencias de aplicaciones lineales continuas
El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.
1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl0005.20901. Archivado desde el original el 11 de enero de 2014. Consultado el 11 de julio de 2020.