Polinomios de Bernoulli

En matemáticas, los polinomios de Bernoulli $B_{n}(x)$ se definen mediante la función generatriz:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli $B_{n}$ son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., $B_{n}=B_{n}(0)$ .

La identidad $B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(x)=(p+1)x^{p}\,$ nos permite dar una forma cerrada de la suma

\sum _{m=0}^{n}{i^{p}}=1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}

Los polinomios de Bernoulli se pueden calcular a partir de la siguiente fórmula:

B_{p}(x)=\sum _{m=0}^{p}(-1)^{m}{p \choose m}B_{m}\cdot x^{p-m}

Expresión explícita de polinomios de menor grado

Los primeros Polinomios de Bernoulli son:

B_{0}(x)=1\,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}\,

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\,

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,

.

B_{7}(x)=x^{7}-{\frac {7}{2}}x^{6}+{\frac {7}{2}}x^{5}-{\frac {7}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x\,

.

B_{8}(x)=x^{8}-4x^{7}+{\frac {14}{3}}x^{6}-{\frac {7}{3}}x^{4}+{\frac {2}{3}}x^{2}-{\frac {1}{30}}\,

.

B_{9}(x)=x^{9}-{\frac {9}{2}}x^{8}+6x^{7}-{\frac {21}{5}}x^{5}+2x^{3}-{\frac {3}{10}}x\,

.

En ^[1], ^[2], se deduce y demuestra que los polinomios de Bernoulli se pueden obtener mediante la siguiente recurrencia integral

B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)dsdt.

Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Appell and Sheffer sequences: on their characterizations through functionals and examples. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 359 (2021) no. 2, pp. 205-217. doi : 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/
Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repository.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/1743
Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.