Conjunto absorbente

Notación para escalares

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , y para cualquier ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty }$ , sea

${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{y }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$

denota la bola abierta (respectivamente, la bola cerrada) de radio ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \mathbb {K} }$ centrada en ${\displaystyle 0}$ .

Ahora, se define el producto de un conjunto ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ de escalares sobre un conjunto ${\displaystyle A}$ de vectores como ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\}}$ , y se define el producto de ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ con un solo vector ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}}$ .

Núcleo equilibrado y envolvente equilibrada

Se dice que un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$ es si ${\displaystyle as\in S}$ para todos los ${\displaystyle s\in S}$ y todos los escalares ${\displaystyle a}$ que satisfacen que ${\displaystyle |a|\leq 1}$ . Esta condición se puede escribir de forma más sucinta como ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$ , y se cumple si y solo si ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S}$ .

Dado un conjunto ${\displaystyle T}$ , el conjunto equilibrado más pequeño que contiene a ${\displaystyle T}$ , denotado por ${\displaystyle \operatorname {equil} T}$ , se denomina de ${\displaystyle T}$ , mientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentro de ${\displaystyle T}$ , denotado por ${\displaystyle \operatorname {nuequil} T}$ , se denomina de ${\displaystyle T}$ .Estos conjuntos están dados por las fórmulas

${\displaystyle \operatorname {equil} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$

y

${\displaystyle \operatorname {nuequil} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{si }}0\in T\\\varnothing &{\text{si }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$

(estas fórmulas muestran que la envolvente equilibrada y el núcleo equilibrado siempre existen y son únicos).Un conjunto ${\displaystyle T}$ está equilibrado si y solo si es igual a su envolvente equilibrada (${\displaystyle T=\operatorname {equil} T}$ ) o a su núcleo equilibrado (${\displaystyle T=\operatorname {nuequil} T}$ ), en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: ${\displaystyle T=\operatorname {equil} T=\operatorname {nuequil} T}$ .

Si ${\displaystyle c}$ es cualquier escalar, entonces

${\displaystyle \operatorname {equil} (c\,T)=c\,\operatorname {equil} T=|c|\,\operatorname {equil} T}$

mientras que si ${\displaystyle c\neq 0}$ es distinto de cero o si ${\displaystyle 0\in T}$ , entonces también

${\displaystyle \operatorname {nuequil} (c\,T)=c\,\operatorname {nuequil} T=|c|\,\operatorname {nuequil} T}$ .

Si ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle A}$ son subconjuntos de ${\displaystyle X}$ , entonces se dice que ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle S}$ si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición: Existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ para cada ${\displaystyle c}$ escalar que satisfaga ${\displaystyle |c|\geq r}$ . O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ para algún ${\displaystyle r>0}$ .
   • Si el cuerpo escalar es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , entonces intuitivamente, "${\displaystyle A}$ absorbe a ${\displaystyle S}$ " significa que si ${\displaystyle A}$ se "aumenta" o "extiende" indefinidamente (refiriéndose a ${\displaystyle tA}$ como ${\displaystyle t\to \infty }$ ), entonces finalmente (para todos los ${\displaystyle t>0}$ positivos lo suficientemente grandes), todos los ${\displaystyle tA}$ quedan contenidos en ${\displaystyle S}$ ; y de manera semejante, ${\displaystyle tA}$ también debe contener finalmente a ${\displaystyle S}$ para todos los ${\displaystyle t<0}$ negativos de magnitud suficientemente grande.
   • Esta definición depende de la norma canónica del cuerpo escalar subyacente (es decir, del valor absoluto ${\displaystyle |\cdot |}$ ), lo que vincula esta definición a la topología euclídea habitual en el cuerpo escalar. En consecuencia, la definición de conjunto absorbente (que se proporciona a continuación) también está ligada a esta topología.
2. Existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ para cada^{[nota 1]}​ escalar ${\displaystyle c\neq 0}$ distinto de cero que satisfaga que ${\displaystyle |c|\leq r}$ . O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ para algún ${\displaystyle r>0}$ .
   • Debido a que esta unión es igual a ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S}$ , donde ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ es la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ para algunos ${\displaystyle r>0}$ .
   • La desigualdad no estricta ${\displaystyle \,\leq \,}$ , se puede reemplazar con la desigualdad estricta ${\displaystyle \,<\,}$ , que es la siguiente caracterización.
3. Existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ para cada^{[nota 1]}​ escalar ${\displaystyle c\neq 0}$ distinto de cero que satisfaga ${\displaystyle |c|<r}$ . O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ para algún ${\displaystyle r>0}$ .
   • Aquí ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ es la bola abierta con el origen eliminado y ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S}$ .

Si ${\displaystyle A}$ es un conjunto equilibrado, esta lista se puede ampliar para incluir:

4. Existe un ${\displaystyle c\neq 0}$ escalar distinto de cero tal que ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A}$ .
   • Si ${\displaystyle 0\in A}$ , entonces se puede eliminar el requisito ${\displaystyle c\neq 0}$ .
5. Existe un escalar^{[nota 1]}​ distinto de cero ${\displaystyle c\neq 0}$ tal que ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ .

Si ${\displaystyle 0\in A}$ (una condición necesaria para que ${\displaystyle A}$ sea un conjunto absorbente o sea un entorno del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir:

6. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ para cada ${\displaystyle c}$ escalar que satisfaga ${\displaystyle |c|<r}$ . O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A}$ .
7. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ para cada ${\displaystyle c}$ escalar que satisfaga ${\displaystyle |c|\leq r}$ . O dicho de manera más sucinta, ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ .
   • La inclusión ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ equivale a ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ (desde ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ). Debido a ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {equil} \,S}$ , esto se puede reescribir como ${\displaystyle \operatorname {equil} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ , lo que da la siguiente declaración.
8. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \operatorname {equil} \,S\,\subseteq \,r\,A}$ .
9. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \operatorname {equil} \,S\,\subseteq \,\operatorname {nuequil} (r\,A)}$ .
10. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {nuequil} (r\,A)}$ .
    • Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar ${\displaystyle c}$ , el envolvente equilibrada de ${\displaystyle A}$ satisface que ${\displaystyle \,\operatorname {equil} (c\,A)=c\,\operatorname {equil} A=|c|\,\operatorname {equil} A\,}$ y (desde ${\displaystyle 0\in A}$ ) su núcleo equilibrado satisface que ${\displaystyle \,\operatorname {nuequil} (c\,A)=c\,\operatorname {nuequil} A=|c|\,\operatorname {nuequil} A}$ .
11. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {nuequil} A}$ . En otras palabras, un conjunto es absorbido por ${\displaystyle A}$ si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del núcleo equilibrado de ${\displaystyle A}$ .
12. Existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {nuequil} A}$ .
13. Existe un ${\displaystyle c}$ escalar tal que ${\displaystyle \operatorname {equil} S\,\subseteq \,c\,A}$ . En otras palabras, ${\displaystyle A}$ se puede escalar para contener la envolvente equilibrada de ${\displaystyle S}$ .
14. Existe un ${\displaystyle c}$ escalar tal que ${\displaystyle \operatorname {equil} S\,\subseteq \,\operatorname {nuequil} (c\,A)}$ .
15. Existe un ${\displaystyle c}$ escalar tal que ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {nuequil} (c\,A)}$ . En otras palabras, ${\displaystyle A}$ se puede escalar para que su núcleo equilibrado contenga a ${\displaystyle S}$ .
16. Existe un ${\displaystyle c}$ escalar tal que ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {nuequil} A}$ .
17. Existe un^{[nota 1]}​ escalar distinto de cero ${\displaystyle c\neq 0}$ tal que ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {nuequil} A}$ . En otras palabras, el núcleo equilibrado de ${\displaystyle A}$ contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de ${\displaystyle S}$ .

Si es ${\displaystyle 0\not \in S}$ o ${\displaystyle 0\in A}$ , esta lista se puede ampliar para incluir:

18. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ absorbe ${\displaystyle S}$ (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorber" distinta de ésta).
    • En otras palabras, ${\displaystyle A}$ puede ser reemplazado por ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ en las caracterizaciones anteriores si es ${\displaystyle 0\not \in S}$ (o trivialmente, si se da el caso de que ${\displaystyle 0\in A}$ ).

Absorción de un punto por un conjunto

Se dice que un conjunto absorbe un punto ${\displaystyle x}$ si absorbe el conjunto unitario ${\displaystyle \{x\}}$ . Un conjunto ${\displaystyle A}$ absorbe el origen si y solo si contiene el origen; es decir, si y solo si ${\displaystyle 0\in A}$ .Como se detalla a continuación, se dice que un conjunto es absorbente en ${\displaystyle X}$ si absorbe todos los puntos de ${\displaystyle X}$ .

Esta noción de que un conjunto absorbe a otro también se utiliza en otras definiciones:Un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ se llama acotado si es absorbido por todos los entornos del origen.Un conjunto se llama bornívoro si absorbe a todos los subconjuntos acotados.

Primeros ejemplos

Cada conjunto absorbe el conjunto vacío, pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto que no esté vacío. El conjunto de un solo punto ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ que contiene el origen es el único subconjunto de un punto que se absorbe a sí mismo.

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es igual a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Si ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ es la circunferencia unidad (centrada en el origen ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ) junto con el origen, entonces ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ es el único conjunto no vacío que absorbe ${\displaystyle A}$ . Además, no existe un subconjunto no vacío de ${\displaystyle X}$ que sea absorbido por la circunferencia unitaria ${\displaystyle S^{1}}$ . En contraste, cada entorno del origen absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ (y, por lo tanto, en particular, absorbe cada subconjunto formado por un único punto).

Un subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ se denomina de ${\displaystyle X}$ y se dice que es absorbente en ${\displaystyle X}$ si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de modo que cada condición sea una consecuencia sencilla de la anterior, empezando por la definición):

1. Definición: ${\displaystyle A}$ absorbe cada punto de ${\displaystyle X;}$ es decir, para cada ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle A}$ absorbe ${\displaystyle \{x\}}$ .
   • Entonces, en particular, ${\displaystyle A}$ no puede ser absorbente si ${\displaystyle 0\not \in A}$ . Todo conjunto absorbente debe contener el origen.
2. ${\displaystyle A}$ absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle X}$ .
3. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle x\in cA}$ para cualquier ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ escalar que satisfaga ${\displaystyle |c|\geq r}$ .
4. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle cx\in A}$ para cualquier ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ escalar que satisfaga ${\displaystyle |c|\leq r}$ .
5. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ .
   • Aquí ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ es la bola abierta de radio ${\displaystyle r}$ en el cuerpo escalar centrada en el origen y ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{y }}|c|<r\}}$ .
   • Se puede utilizar la bola cerrada en lugar de la bola abierta.
   • Debido a ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {expan} \{x\}}$ , la inclusión ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ se cumple si y solo si ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ . Esto prueba la siguiente afirmación:
6. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ , donde ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {expan} \{x\}}$ .
   • Conexión a la topología: Si a ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ se le da su habitual topología euclídea de Hausdorff, entonces el conjunto ${\displaystyle B_{r}x}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ , por lo tanto, existe un ${\displaystyle r>0}$ real tal que ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ si y solo si ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ . En consecuencia, ${\displaystyle A}$ satisface esta condición si y solo si para cada ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle A\cap \operatorname {expan} \{x\}}$ es un entorno de ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} \{x\}=\mathbb {K} x}$ cuando a ${\displaystyle \operatorname {expan} \{x\}}$ se le da la topología euclídea. De lo anterior se obtiene la siguiente caracterización:
   • Las únicas topologías EVT^{[nota 2]}​ en un espacio vectorial unidimensional son la topología trivial (no de Hausdorff) y la topología euclídea de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional de ${\displaystyle X}$ tiene la forma ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {expan} \{x\}}$ para algún ${\displaystyle x\in X}$ no nulo y si este espacio unidimensional ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ está dotado de la (única) topología vectorial de Hausdorff, entonces la aplicación ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ definida por ${\displaystyle c\mapsto cx}$ es necesariamente un espacio vectorial topológico (donde, como de costumbre, ${\displaystyle \mathbb {K} }$ está dotado de su topología euclídea estándar inducida por la distancia euclídea).
7. ${\displaystyle A}$ contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle A\cap Y}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle Y}$ cuando a ${\displaystyle Y}$ se le da su topología vectorial única de Hausdorff.
   • Conexión con las topologías de los espacios vectoriales: Esta condición da una idea de por qué cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico (EVT) es necesariamente absorbente: si ${\displaystyle U}$ es un entorno del origen en un EVT ${\displaystyle X}$ , entonces por cada subespacio vectorial 1-dimensional ${\displaystyle Y}$ , ${\displaystyle U\cap Y}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle Y}$ cuando ${\displaystyle Y}$ está dotado de la topología del subespacio inducida en él por ${\displaystyle X}$ . Esta topología de l subespacio es siempre una topología vectorial^{[nota 2]}​ y debido a que ${\displaystyle Y}$ es unidimensional, las únicas topologías vectoriales que contiene son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea.Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en ${\displaystyle Y}$ , el conjunto ${\displaystyle U\cap Y}$ será un entorno del origen en ${\displaystyle Y}$ con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea).^{[nota 3]}​Por lo tanto, ${\displaystyle U}$ es absorbente.
     • La razón por la que se distingue la topología euclídea en esta caracterización se debe en última instancia al requisito definitorio de las topologías EVT^{[nota 2]}​ de que la multiplicación escalar ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ sea continua cuando al cuerpo escalar ${\displaystyle \mathbb {K} }$ se le da esta topología (euclídea).
8. ${\displaystyle A}$ contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle A\cap Y}$ es absorbente en ${\displaystyle Y}$ .
   • Aquí absorber se puede considerar según cualquier condición definitoria distinta de ésta.
   • Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbente en ${\displaystyle X}$ depende solo de cómo se comporta ${\displaystyle A}$ con respecto a subespacios vectoriales de 1 (o 0) dimensiones de ${\displaystyle X}$ . Por el contrario, si un subespacio vectorial de dimensión finita ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle X}$ tiene dimensión ${\displaystyle n>1}$ y está dotado de su topología EVT única de Hausdorff, entonces ${\displaystyle A\cap Z}$ ya no es absorbente en ${\displaystyle Z}$ , condición suficiente para garantizar que ${\displaystyle A\cap Z}$ sea un entorno del origen en ${\displaystyle Z}$ (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que ${\displaystyle A\cap Z}$ sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y cerrado en ${\displaystyle Z}$ (dicho conjunto se llama barril y será un entorno del origen en ${\displaystyle Z}$ porque como todo espacio euclídeo de dimensión finita, ${\displaystyle Z}$ es un espacio abarrilado).

Si ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ entonces a esta lista se puede agregar:

9. El interior algebraico de ${\displaystyle A}$ contiene el origen (esto es, ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$ ).

Si ${\displaystyle A}$ es equilibrado, se puede agregar a esta lista:

10. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un escalar ${\displaystyle c\neq 0}$ tal que ${\displaystyle x\in cA}$ ^[1]​ (o equivalentemente, tal que ${\displaystyle cx\in A}$ ).
11. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle c}$ escalar tal que ${\displaystyle x\in cA}$ .

Si ${\displaystyle A}$ es convexo o equilibrado, entonces a esta lista se puede agregar:

12. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real positivo tal que ${\displaystyle rx\in A}$ .
    • La prueba de que un conjunto equilibrado ${\displaystyle A}$ que satisface esta condición es necesariamente absorbente en ${\displaystyle X}$ se sigue inmediatamente de la condición (10) anterior y del hecho de que ${\displaystyle cA=|c|A}$ para todos los escalares ${\displaystyle c\neq 0}$ (donde ${\displaystyle r:=|c|>0}$ es real).
    • La prueba de que un conjunto convexo ${\displaystyle A}$ que satisface esta condición es necesariamente absorbente en ${\displaystyle X}$ es menos trivial (pero no difícil). En esta nota al pie^{[demo 1]}​ se proporciona una prueba detallada, y además a continuación se ofrece un resumen.

• Resumen de la demostración: Por suposición, para cualquier ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ distinto de cero, es posible elegir ${\displaystyle r>0}$ y ${\displaystyle R>0}$ reales positivos de modo que ${\displaystyle Ry\in A}$ y ${\displaystyle r(-y)\in A}$ de modo que el conjunto convexo ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ contenga el subintervalo abierto ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \}}$ , que contiene el origen (${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ se llama intervalo, ya que se identifica ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ con ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y cada subconjunto convexo no vacío de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es un intervalo). Dados ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ su topología vectorial única de Hausdorff, queda por demostrar que ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ es un entorno del origen en ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ . Si es ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ , entonces se ha terminado, así que supóngase que ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ . El conjunto ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ es una unión de dos intervalos, cada uno de los cuales contiene un subintervalo abierto que a su vez contiene el origen. Además, la intersección de estos dos intervalos es precisamente el origen. Entonces, la envolvente convexa de ${\displaystyle S}$ , que está contenida en el conjunto convexo ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y}$ , contiene claramente una bola abierta alrededor del origen. ${\displaystyle \blacksquare }$

13. Para cada ${\displaystyle x\in X}$ , existe un ${\displaystyle r>0}$ real positivo tal que ${\displaystyle x\in rA}$ .
    • Esta condición equivale a que: todo ${\displaystyle x\in X}$ pertenece al conjunto ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A}$ . Esto sucede si y solo si ${\displaystyle X=(0,\infty )A}$ , que da la siguiente caracterización:
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X}$ .
    • Se puede demostrar que para cualquier subconjunto ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ si y solo si ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ para cada ${\displaystyle x\in X}$ , donde ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. Por cada ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ .

Si ${\displaystyle 0\in A}$ (lo que es necesario para que ${\displaystyle A}$ sea absorbente), entonces es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para todos los ${\displaystyle x\in X}$ , distintos de cero en lugar de para todos los ${\displaystyle x\in X}$ .

Sea ${\displaystyle F:X\to Y}$ una aplicación lineal entre espacios vectoriales y sean ${\displaystyle B\subseteq X}$ y ${\displaystyle C\subseteq Y}$ conjuntos equilibrados. Entonces ${\displaystyle C}$ absorbe ${\displaystyle F(B)}$ si y solo si ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ absorbe ${\displaystyle B}$ .^[2]​

Si un conjunto ${\displaystyle A}$ absorbe otro conjunto ${\displaystyle B}$ , entonces cualquier superconjunto de ${\displaystyle A}$ también absorbe a ${\displaystyle B}$ .Un conjunto ${\displaystyle A}$ absorbe el origen si y solo si el origen es un elemento de ${\displaystyle A}$ .

Un conjunto ${\displaystyle A}$ absorbe una unión finita ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ de conjuntos si y solo absorbe cada elemento individual del conjunto (es decir, si y solo si ${\displaystyle A}$ absorbe ${\displaystyle B_{i}}$ para cada ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ). En particular, un conjunto ${\displaystyle A}$ es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$ si y solo si absorbe cada subconjunto finito de ${\displaystyle X}$ .

La 1-esfera de cualquier espacio vectorial normado (o espacio vectorial seminormado) es absorbente.De manera más general, si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces cualquier entorno del origen en ${\displaystyle X}$ es absorbente en ${\displaystyle X}$ . Este hecho es una de las principales motivaciones para definir la propiedad "absorbible en ${\displaystyle X}$ ".

Cada superconjunto de un conjunto absorbente es absorbente. En consecuencia, la unión de cualquier familia de (uno o más) conjuntos absorbentes es absorbente. La intersección de un número finito de subconjuntos absorbentes es una vez más un subconjunto absorbente. Sin embargo, las bolas abiertas ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ de radio ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ son todas absorbentes en ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ aunque su intersección ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$ no es absorbente.

Si ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ es un disco (un subconjunto convexo y equilibrado), entonces ${\displaystyle \operatorname {expan} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ y, por lo tanto, en particular, un disco ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ es siempre un subconjunto absorbente de ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ .^[3]​.Por lo tanto, si ${\displaystyle D}$ es un disco en ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle D}$ está absorbido en ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle \operatorname {span} D=X}$ .Esta conclusión no está garantizada si el conjunto ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ es equilibrado pero no convexo. Por ejemplo, la unión ${\displaystyle D}$ de los ejes ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ es un conjunto equilibrado no convexo que no es absorbente en ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}}$ .

La imagen de un conjunto absorbible bajo un operador lineal sobreyectivo vuelve a ser absorbible. La imagen inversa de un subconjunto absorbible (del codominio) bajo un operador lineal es nuevamente absorbible (en el dominio).Si ${\displaystyle A}$ es absorbente, lo mismo ocurre con su conjunto simétrico ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A}$ .

Espacios normados auxiliares

Si ${\displaystyle W}$ es convexo y absorbible en ${\displaystyle X}$ , entonces el conjunto simétrico ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ será convexo y equilibrado (también conocido como conjunto absolutamente convexo o disco) además de ser absorbible en ${\displaystyle X}$ .Esto garantiza que el funcional de Minkowski ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle D}$ sea un seminorma en ${\displaystyle X}$ , convirtiendo así a ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ en una seminorma que lleva su topología canónica pseudometrizable. El conjunto de múltiplos escalares ${\displaystyle rD}$ como ${\displaystyle r}$ se extiende sobre ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tenga ${\displaystyle 0}$ como punto límite) forma una base de entornos de discos absorbentes en el origen de esta topología localmente convexa. Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo ${\displaystyle W}$ también es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ , entonces todo esto también será cierto para el disco absorbente ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ . Si además ${\displaystyle D}$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, entonces ${\displaystyle p_{D}}$ será una norma y ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar.^[4]​ Si este espacio normado es un espacio de Banach, entonces ${\displaystyle D}$ se llama disco de Banach.

Cada conjunto absorbente contiene el origen. Si ${\displaystyle D}$ es un disco absorbente en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ , entonces existe un disco absorbente ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle E+E\subseteq D}$ .^[5]​

Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ y, de manera más general, ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ para cualquier secuencia de escalares ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ tal que ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty }$ . En consecuencia, si un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ es un subconjunto no exiguo de sí mismo (o de manera equivalente para ETV, si es un espacio de Baire) y si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto absorbente cerrado de ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle A}$ contiene necesariamente un subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle X}$ (en otras palabras, el interior de ${\displaystyle A}$ no estará vacío), lo que garantiza que ${\displaystyle A-A}$ sea un entorno del origen en ${\displaystyle X}$ .

• Interior algebraico
• Conjunto absolutamente convexo
• Conjunto equilibrado
• Conjunto bornívoro
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Convexidad
• Espacio localmente convexo
• Conjunto radial
• Dominio en estrella
• Conjunto simétrico
• Espacio vectorial topológico

Demostraciones

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