Prima elemento

Pri nenula elemento ${\displaystyle r\in R}$ de komuta ringo ${\displaystyle R}$ la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj, kaj elemento plenumanta ilin estas prima:

• Ĝi ne estas inversigebla elemento, kaj pri ajnaj j${\displaystyle a,b,c\in R}$ , se ${\displaystyle ab=cr}$ , do ekzistas ${\displaystyle d\in R}$ , tia ke ${\displaystyle dr\in \{a,b\}}$ .
• Pri nenegativa entjero ${\displaystyle n}$ kaj elementoj ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}}$ , se ${\displaystyle p}$ dividas la produton ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dotsm a_{n}}$ , do ekzistas ${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}}$ tia ke ${\displaystyle p}$ dividas ${\displaystyle a_{i}}$ .
  • Speciale, se ${\displaystyle n=0}$ , do se ${\displaystyle p}$ dividus 1 (t.e. estus inversigebla elemento), do ekzistus ${\displaystyle i\in \varnothing }$ , sed tio ne eblas; tial, ${\displaystyle p}$ ne estas inversigebla elemento.
• La ĉefidealo ${\displaystyle (p)}$ estas prima idealo.
• La kvocienta ringo ${\displaystyle R/(p)}$ estas integreca ringo.

En integreca ringo, ĉiu prima elemento estas nemalkomponebla elemento, sed povas ekzisti nemalkomponebla elemento, kiu ne estas prima.

Tamen, en faktoreca ringo, ĉiu nemalkomponebla elemento estas prima elemento.

En la ringo de entjeroj ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , la primaj elementoj estas ${\displaystyle \pm p}$ , en kiu ${\displaystyle p}$ estas primo.

• Eric W. Weisstein, Prime element en MathWorld.