257-γωνο

Το κανονικό 257-γωνο (που όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες) έχει αρκετό ενδιαφέρον ως κατασκευάσιμο πολύγωνο, καθώς μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το 257 είναι πρώτος αριθμός Φερμά, ο οποίος είναι της μορφής 2⁽²ⁿ⁾ + 1 (στην περίπτωση αυτή n = 3). Έτσι, οι τιμές ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{257}}}$ και ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{257}}}$ είναι 128 μοιρών αλγεβρικοί αριθμοί και όπως όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί μπορεί να γραφτούν χρησιμοποιώντας τετραγωνικές ρίζες και όχι ρίζες υψηλότερης τάξης.

Αν και από το 1801 ήταν γνωστό στον Καρλ Φρίντριχ Γκάους ότι ήταν κατασκευάσιμο το κανονικό 257-γωνο, οι πρώτες σαφείς κατασκευές του δόθηκαν από τον Μάγκνους Γκεόργκ Πάουκερ το 1822,^[1] ενώ τις επόμενες μεθόδους τις έδωσε το 1832 ο Φρίντριχ Ιούλιος Ρισελότ (1808–1875), καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Königsberg.^[2] Η κατασκευή του κανονικού 257-γωνου που πραγματοποίησε ο Ρισελότ ήταν μια εκτεταμένη εργασία 81 σελίδων που δημοσιεύτηκε το 1832 (Crelle’s Journal, IX, 1832). Εκεί ο Ρισελότ εξήγαγε και κατασκεύασε τις ρίζες της εξίσωσης z²⁵⁷ = 1. Η διδακτορική του διατριβή που υποβλήθηκε το 1831 στο πανεπιστήμιο του Königsberg είχε για θέμα τη διαίρεση του κύκλου σε 257 ίσα μέρη.^[3]

Μια άλλη μέθοδος περιλαμβάνει τη χρήση 150 κύκλων, εκ των οποίων οι 24 είναι κύκλοι Carlyle (η μέθοδος αυτή απεικονίζεται κατωτέρω). Ένας από αυτούς τους κύκλους Carlyle επιλύει την τετραγωνική εξίσωση x² + x − 64 = 0.^[4]

Μια άλλη μέθοδος:

Το 257-γραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο με 257 πλευρές. Καθώς το 257 είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν 127 κανονικές μορφές που παράγονται από τα σύμβολα Schläfli {257/n} για όλους του φυσικούς αριθμούς 2 ≤ n ≤ 128, δεδομένου ότι:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {257}{2}}\right\rfloor =128}$ .

Παρακάτω είναι μια άποψη του {257/128}, με 257 σχεδόν ακτινικές πλευρές και με εσωτερική γωνία της κάθε αστεροειδούς κορυφής του 180/257° (~0,7°).

180 (1-2 / (257/128)) = 180 (1 - 256/257) = 180/257 = 0,700389

Δεδομένου ότι η ακριβής κατασκευή του 257-γώνου είναι πολύ εκτεταμένη και δεν μπορεί να προβληθεί με σαφήνεια, στο εξής, η πρώτη πλευρά θα εμφανίζεται ως προσεγγιστική κατασκευή.

${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AME₁ = 1,40077828746899...° ; 360° : 257 = 1,40077821011673...° ; ${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ AME₁ - 360° : 257 = 7,73...E-8°

Για παράδειγμα, για να επεξηγεί το σφάλμα σε έναν περιγεγραμμένο κύκλο με ακτίνα r = 1000 χιλιόμετρα (η απόσταση της αερογραμμής Λονδίνο - Μόναχο είναι περίπου 918 χιλιόμετρα), βλέπούμε ότι το απόλυτο σφάλμα στην πρώτη πλευρά θα ήταν περίπου 1,35 mm.

Για λεπτομέρειες, βλ.:

• Σωτήρης Χ. Γκουντουβάς "Το νόημα της κατασκευής στην πορεία εξέλιξης της Γεωμετρίας" Διπλωματική διατριβή, ΕΚΠΑ, Αθήνα 2009.
• Robert Dixon, Mathographics. New York: Dover, p. 53, 1991.
• Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. New York: Dover, p. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969. Chapter 2, Regular polygons
• Leonard Eugene Dickson, Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons. Ch. 8 in Monographs on Topics of Modern Mathematics *Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.

• Weisstein, Eric W., "257-gon" από το MathWorld.