Στερεό εκ περιστροφής

Όλα τα τρισδιάστατα στερεά και επιφάνειες που παράγονται από περιστροφή
δισδιάστατης συνάρτησης μπορούν να διατυπωθούν αλγεβρικά στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων.

Έστω η δισδιάστατη παραμετρική ${\displaystyle [X(t),Y(t)]}$.
Στο τρισδιάστατο ${\displaystyle [X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]}$ τοποθετούμε:${\displaystyle u=t}$

${\displaystyle X(u,v)=X(u)}$
${\displaystyle Y(u,v)=0}$
${\displaystyle Z(u,v)=Y(u)}$

Αν θέλουμε να περιστρέψουμε τον άξονα ${\displaystyle Z}$ τότε:
φ1=0
φ2=v

Αρα η συνάρτηση του στερεού εκ περιστροφής είναι:

${\displaystyle X(u,v)=X(u)cos(v)}$
${\displaystyle Y(u,v)=-X(u)sin(v)}$
${\displaystyle Z(u,v)=Y(u)}$

Με παρόμοιο τρόπο παράγονται συναρτήσεις στερεών
από περιστροφή άλλων αξόνων η υπό γωνία.
Γνωστά στερεά από περιστροφή είναι η σφαίρα ο κώνος ο κύλινδρος ο τόρος κλπ.

Ακολουθεί το παράδειγμα της περιστροφής του ημιτόνου.
Σχηματίζεται κυματοειδής κυλινδρική επιφάνεια.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι δυνατόν να υπολογιστεί το εμβαδό του στερεού.

Παραπομπή:commons:file:parametric system of coordinates.pdf