Περιφέρεια (γεωμετρία)

Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι η απόσταση γύρω από αυτόν, αλλά εάν η απόσταση οριστεί με όρους ευθειών, αυτό δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός. Υπό αυτές τις συνθήκες, η περιφέρεια ενός κύκλου μπορεί να οριστεί ως το όριο των περιμέτρων των εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων όσο ο αριθμός των πλευρών αυξάνεται χωρίς περιορισμό.^[3] Ο όρος περιφέρεια χρησιμοποιείται για τη μέτρηση φυσικών αντικειμένων, καθώς και για την μελέτη αφηρημένων γεωμετρικών μορφών.

Η περιφέρεια ενός κύκλου σχετίζεται με μια από τις σημαντικότερες μαθηματικές σταθερές, το π. Τα πρώτα δεκαδικά ψηφία της αριθμητικής τιμής του ${\displaystyle \pi }$ είναι 3,141592653589793... Το ${\displaystyle \pi }$ ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου ${\displaystyle C}$ προς τη διάμετρό του ${\displaystyle d}$ :

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ .

Ή, ισοδύναμα, ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς το διπλάσιο της ακτίνας του. Ο παραπάνω τύπος μπορεί να αναδιαταχθεί για να λυθεί ως προς την περιφέρεια:

${\displaystyle C=\pi \cdot d=2\pi \cdot r}$ .

Ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την ακτίνα του ονομάζεται σταθερά κύκλου και είναι ισοδύναμος με ${\displaystyle 2\pi }$ . Η αξία ${\displaystyle 2\pi }$ είναι επίσης η ποσότητα των ακτίνων σε μια στροφή . Η χρήση της μαθηματικής σταθεράς π είναι πανταχού παρούσα στα μαθηματικά, τη μηχανική και την επιστήμη.

Στο βιβλίο Κύκλου μέτρησις που γράφτηκε γύρω στο 250 π.Χ., ο Αρχιμήδης έδειξε ότι αυτή η αναλογία (${\displaystyle C/d,}$ αφού δεν χρησιμοποιούσε το όνομα π) ήταν μεγαλύτερη από 310/71 αλλά μικρότερη από 31/7 υπολογίζοντας τις περιμέτρους ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου με 96 πλευρές.^[4] Αυτή η μέθοδος για την προσέγγιση του π χρησιμοποιήθηκε για αιώνες, αποκτώντας μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιώντας πολύγωνα με όλο και μεγαλύτερο αριθμό πλευρών. Ο τελευταίος τέτοιος υπολογισμός έγινε το 1630 από τον Christoph Grienberger ο οποίος χρησιμοποίησε πολύγωνα με 10⁴⁰ πλευρές.

Η περιφέρεια χρησιμοποιείται από ορισμένους συγγραφείς για να υποδηλώσει την περίμετρο μιας έλλειψης. Δεν υπάρχει γενικός τύπος για την περιφέρεια μιας έλλειψης ως προς τον μεγάλο και τον μικρό άξονά της που να χρησιμοποιεί μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις. Ωστόσο, υπάρχουν κατά προσέγγιση τύποι όσον αφορά αυτές τις παραμέτρους. Μια τέτοια προσέγγιση, η οποία ανακαλύφθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ (1773), για την κανονική έλλειψη,

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ,

είναι

${\displaystyle C_{\rm {\epsilon \lambda \lambda \epsilon \iota \psi \eta \varsigma }}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}}$ .

Μερικά κάτω και άνω όρια στην περιφέρεια της κανονικής έλλειψης με ${\displaystyle a\geq b}$ είναι:^[5]

${\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a}$ .

Εδώ, το άνω όριο ${\displaystyle 2\pi a}$ είναι η περιφέρεια ενός περιγεγραμμένου ομόκεντρου κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του κύριου άξονα της έλλειψης και το κάτω όριο ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ είναι η περίμετρος ενός εγγεγραμμένου ρόμβου με κορυφές τα σημεία του μεγάλου και του μικρού άξονα.

Η περιφέρεια μιας έλλειψης μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως προς το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα δεύτερου είδους.^[6] Συγκεκριμένα,

${\displaystyle C_{\rm {\epsilon \lambda \lambda \epsilon \iota \psi \eta \varsigma }}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$ ,

όπου ${\displaystyle a}$ είναι το μήκος του μεγάλου άξονα και ${\displaystyle e}$ είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης, που ισούται με ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

• Μήκος τόξου – Απόσταση κατά μήκος μιας καμπύλης
• Εμβαδόν – Μέγεθος μέτρησης επιφανειών
• Ισοπεριμετρική ανισότητα – Γεωμετρική ανισότητα που θέτει ένα χαμηλότερο όριο στην επιφάνεια ενός συνόλου με δεδομένο τον όγκο του

• Numericana - Περιφέρεια έλλειψης