Korrelationsmatrix

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})^{\top }}$ enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten.^[1] Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ist die Korrelationsmatrix definiert als^[2]

${\displaystyle \mathbf {P} \equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )={\begin{pmatrix}\rho _{11}&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&\rho _{22}&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &\rho _{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&1&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &1\end{pmatrix}}}$ ,

wobei ${\displaystyle \rho _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})/{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}=\sigma _{ij}/\sigma _{i}\sigma _{j}}$ der Korrelationskoeffizient zwischen ${\displaystyle X_{i}}$ und ${\displaystyle X_{j}}$ ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von ${\displaystyle \mathbf {P} }$ die Korrelation von ${\displaystyle X_{2}}$ mit jeder anderen ${\displaystyle X}$ -Variablen.Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als ${\displaystyle \mathbf {P} _{\rho }}$ bzw. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ und die Stichproben-Korrelationsmatrix als ${\displaystyle \mathbf {R} }$ bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix ${\displaystyle \mathbf {D} =\left(\operatorname {diag} ({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{1/2}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\sigma _{2},\dotsc ,\sigma _{n})}$ definiert, dann erhält man ${\displaystyle \mathbf {P} }$ durch ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ und umgekehrt:

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {D} ^{-1}\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\mathbf {D} ^{-1}}$

oder äquivalent

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\mathbf {D} \,\mathbf {P} \,\mathbf {D} }$ .

• Sind alle Komponenten des Zufallsvektors ${\displaystyle \mathbf {X} }$ linear unabhängig, so ist ${\displaystyle \mathbf {R} }$ positiv definit.
• Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
• Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }$ Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \mathbf {P} }$ .^[3]

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}}$ erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \rho _{ij}}$ durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) ${\displaystyle r_{ij}}$ ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ={\widehat {\mathbf {P} }}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{12}&\cdots &r_{1k}\\\\r_{21}&1&\cdots &r_{2k}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{k1}&r_{k2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ .

• Kovarianzmatrix