Spektrum eines Ringes
Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ist die Menge aller Primideale in , in Zeichen
Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
Definition
Für einen Ring ist das Spektrum
ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:
- Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von
.
- Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen
- für Elemente
von
gegeben ist.
- Die Schnitte der Strukturgarbe
über
sind gleich der Lokalisierung
. Insbesondere ist
.
Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.
Beispiele
- Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen
; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus
enthalten.
- Der
-dimensionale affine Raum über einem Ring
ist das affine Schema
. Ist
ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum
(Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
- Sei
ein kompakter Hausdorff-Raum und sei
der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf
, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in
. Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum
topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum
einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.
Eigenschaften
- Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe
in einem Punkt
ist der lokale Ring
.
- Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
- Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus
ist
stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
- Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form
für einen Ringhomomorphismus
.
Siehe auch
Literatur
- Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
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