Schatten-Klasse
Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen gemeinsam.
Definition
Ist ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge
nicht-negativer reeller Zahlen mit
und orthonormale Folgen
in
und
in
, sodass
für alle
gilt und
- die Operatoren
für
in der Operatornorm gegen
konvergieren.
Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch
bestimmt. Man schreibt daher
für das
-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den
-ten singulären Wert von
. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators
bilden.
Für ist die
-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von
nach
durch
definiert. Dabei ist der Folgenraum der zur
-ten Potenz summierbaren Folgen. Für
definiert man die
-Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:
Die -Norm des Operators ist also genau die
-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.
Für den Fall schreibt man abkürzend
. Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.
Spezialfälle
Für entspricht der Raum
der Menge der Spurklasseoperatoren.
Für entspricht
dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Eigenschaften
- Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den
-Räumen gemeinsam.
ist mit der
-Norm ein Banachraum. Für
gilt
und daher
. Ferner gilt stets
, wobei
die Operator-Norm von
ist.
ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind
und
stetige lineare Operatoren auf
, so ist
und es gilt
. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in
.
- Seien
mit
konjugierte Zahlen. Gilt dann
und
, so ist das Produkt
ein Spurklasse-Operator und es gilt
. Jedes
definiert daher durch
ein stetiges lineares Funktional
auf
. Man kann zeigen, dass die Abbildung
ein isometrischer Isomorphismus von
auf den Dualraum von
ist, oder kurz
. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für
reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für
nicht der Fall. Die Verhältnisse für
sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.
Lokale Theorie der Schatten-Klassen
Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln[1] sowie Entropiezahlen[2] oder auch s-Zahlen[3][4] für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall die berühmte Variance Conjecture bewiesen.[5]
Quellen
- R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
- N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
- R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.