Rationale Funktion
Eine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Sie hat also die Form
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Gebrochenrational.svg/300px-Gebrochenrational.svg.png)
blau: Polgerade durch die Polstelle bei
grün: Asymptotenfunktion , stetig behebbare Definitionslücke bei
mit natürlichen Zahlen und . Die Zahlen können beliebige reelle Zahlen (oder auch komplexe Zahlen) sein; die einzige Einschränkung ist, dass sein muss. Die höchsten Koeffizienten und sollen nicht Null sein.
Abstrakter kann man für die Koeffizienten Elemente eines beliebigen Körpers zulassen. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den meromorphen Funktionen.
Allgemeiner kann man rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebigen Körpern betrachten.
Einteilung
- Ist das Nennerpolynom
vom Grad
, also konstant, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder von einer Polynomfunktion.
- Kann man den Funktionsterm ausschließlich mit einem Nennerpolynom vom Grad
darstellen, so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
- Ist
und
, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
- Ist
und
, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann über Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).
- Ist
Beispiele für rationale Funktionen mit unterschiedlichen Zählergraden und Nennergraden
:
Beispiel | alternative Schreibweise | m = | n = | Funktionstyp |
---|---|---|---|---|
3 | 0 | ganzrational | ||
1 | 2 | echt gebrochenrational | ||
3 | 3 | unecht gebrochenrational | ||
2 | 1 | unecht gebrochenrational |
Kurvendiskussion
Anhand des Funktionsterms der rationalen Funktion lassen sich folgende Aussagen zum Funktionsgraphen machen (Kurvendiskussion).
Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen
Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion nicht definiert.
Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören.
Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor
(eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach) gekürzt werden.
- Kommt
im Nenner
-mal öfter vor als im Zähler (mit natürlicher Zahl
,
), so liegt eine Polstelle vor (
heißt dann die Vielfachheit der Polstelle);
- andernfalls hat die rationale Funktion an der Stelle
eine stetig hebbare Definitionslücke, und man kann die Funktion stetig fortsetzen
Beispiele:
- Die Funktion
hat den Definitionsbereich
, da die Nennerfunktion
die Nullstelle
hat, und die Nullstelle
, da das die einzige Nullstelle der Zählerfunktion
ist (und
zu
gehört).
ist eine (doppelte) Polstelle.
- Die Funktion
hat den Definitionsbereich
. Hier ist aber nun
eine Nullstelle der Zähler- und der Nennerfunktion. Um den entsprechenden Linearfaktor
zu kürzen, faktorisiert man Zähler und Nenner zunächst (durch Ausklammern bzw. Anwenden der binomischen Formeln); das führt auf
bzw. nach kürzen auf
. Damit ergibt sich:
ist eine (einfache) Polstelle,
dagegen eine stetig behebbare Definitionslücke von
, und
hat die Nullstelle
(beachte:
ist keine Nullstelle von
, da dieser Wert nicht zu
gehört!). Für die stetige Fortsetzung von
ergibt sich:
und
.
Asymptotisches Verhalten
Für das Verhalten für gegen Unendlich sind die Grade
bzw.
des Zähler- bzw. Nennerpolynoms entscheidend:
Für geht
- (Fall 1) gegen
, falls
, wobei
die Vorzeichenfunktion darstellt.
- (Fall 2) gegen
, falls
(die Asymptote ist parallel zur
-Achse),
- (Fall 3) gegen
(die
-Achse ist waagrechte Asymptote), falls
,
Für ergibt sich in den Fällen 2 und 3 jeweils derselbe Grenzwert wie für
. Im Fall 1 muss man Zähler- und Nennergrad noch genauer berücksichtigen:
- Ist
gerade, so ergibt sich derselbe Grenzwert wie für
.
- Ist
ungerade, so ändert sich im Vergleich zu
das Vorzeichen des Grenzwerts.
Beispiele:
- Bei der gebrochenrationalen Funktion
ist der Zählergrad
und der Nennergrad
, der Grenzwert für
ist also
.
- Die gebrochenrationale Funktion
hat den Zählergrad
und auch den Nennergrad
; da hier
und
ist, ergibt sich für die Gleichung der waagrechten Asymptote:
.
- Die gebrochenrationale Funktion
hat den Zählergrad
und den Nennergrad
; mit den Koeffizienten
und
ergibt sich also:
für
. Da hier
ungerade ist, folgt für den Grenzwert für
das umgedrehte Vorzeichen, also
. Diese Funktion kann man auch schreiben als
, das heißt, die (schräge) Asymptote hat die Gleichung
(und daraus ergibt sich auch leicht wieder das eben geschilderte Grenzverhalten).
Untersuchung mit Polynomdivision
Im oben genannten Fall 1 ( ) kann man den Funktionsterm mittels Polynomdivision in eine Summe aus einem Polynom und einem echt gebrochenrationalen Term zerlegen; das Polynom beschreibt dann eine sogenannte Asymptotenkurve. Das oben beschriebene Verhalten der Funktionswerte für
kann man auch einfacher erhalten, indem man nur das Verhalten dieser Asymptotenkurve untersucht. Im Sonderfall
ergibt sich eine schräg verlaufende Asymptote.
Wie oben stehen für den Grad des Zählerpolynoms
und
für den Grad des Nennerpolynoms
. Es werden wieder alle Fälle betrachtet (nicht nur
).
Mittels Polynomdivision von durch
erhält man zunächst eine Darstellung
mit Polynomen und
, wobei der Grad von
echt größer als der von
ist. Daraus folgt die nützliche Gleichung
.
Das asymptotische Verhalten von ist nun dasselbe asymptotische Verhalten der ganzrationalen Funktion („Asymptotenfunktion“)
. Der Quotient
spielt keine Rolle.
Wenn man sich die Mühe der Polynomdivision gemacht hat und die oben beschriebene nützliche Gleichung aufstellt, tut man sich mit der Fallunterscheidung leichter. Es gilt:
Fall 1: →
-Achse ist Asymptote:
Fall 2: → waagerechte Asymptote:
Fall 3: → schräge Asymptote:
mit
und
Fall 4: →
ist ein Polynom vom Grad
; der Leitkoeffizient dieses Polynoms ist gleich
.
Symmetrie
Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom und Nennerpolynom
von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion
gerade oder ungerade:
- Sind
und
beide gerade oder beide ungerade, so ist
gerade (d. h. der Graph ist symmetrisch zur y-Achse)
- Ist
gerade und
ungerade, so ist
ungerade (d. h. der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn
ungerade und
gerade ist.
In allen anderen Fällen, wenn also Zähler- oder Nennerfunktion oder beide weder gerade noch ungerade sind, sind Symmetrieeigenschaften von schwieriger zu entscheiden. (Siehe auch Kurvendiskussion und Symmetrie in der Geometrie).
Beispiele:
- Der Graph zur Funktion
mit
ist symmetrisch zum Ursprung, da
ungerade und
gerade, die Funktion insgesamt also ungerade ist.
- Der Graph zur Funktion
ist symmetrisch zur y-Achse, da
und
beide ungerade, die Funktion insgesamt also gerade ist. Das kann man auch anders sehen: Klammert man in Zähler und Nenner jeweils x aus, kann man den Funktionsterm kürzen zu
; nun sind
und
gerade, die Funktion insgesamt also wiederum gerade.
- Beim Graph zur Funktion mit dem Term
ist zunächst keine Symmetrie erkennbar (
ist ungerade,
aber weder gerade noch ungerade); man kann aber zeigen, dass der Graph symmetrisch zum Punkt P(1|1) ist; es gilt nämlich:
und
,
- also insgesamt:
, was eben gerade Symmetrie zum Punkt P(1|1) bedeutet. Alternativ kann man auch zeigen, dass der Graph von
aus dem Graph der Funktion
(welcher symmetrisch zum Ursprung ist) durch Verschieben um 1 in
-Richtung und um 1 in
-Richtung hervorgeht.
Ableitung
Zum Ableiten gebrochenrationaler Funktionen muss man im Allgemeinen die Quotientenregel verwenden; zusätzlich kann auch oft die Kettenregel nützlich sein, beispielsweise wenn die Nennerfunktion eine Potenz eines Binoms ist. Vor dem Ableiten empfiehlt es sich oft, den Funktionsterm zunächst mit Hilfe einer Polynomdivision umzuschreiben und den übrigbleibenden echt gebrochenrationalen Term zu kürzen.
Beispiele:
- Bei der Funktion
ist es sinnvoll, neben der Quotientenregel auch die Kettenregel anzuwenden, statt zunächst im Nenner die erste binomische Formel anzuwenden. Mit der Kettenregel ergibt sich zunächst für die Ableitung der Nennerfunktion
(in der Quotientenregel meist mit
bezeichnet):
,
- und damit insgesamt für die Ableitungsfunktion von
:
.
- Nun kann man im Zähler einen Faktor
ausklammern und kürzen:
.
- Vereinfachen des Zählers führt schließlich auf
.
- Den Funktionsterm
bringt man mit Hilfe einer Polynomdivision zunächst auf die Form
,
- woran man auch gleich die Gleichung der schrägen Asymptote ablesen kann:
.
- Faktorisieren von Zähler und Nenner führt dann auf
,
- man kann also einen Faktor
kürzen. Schließlich hat man:
;
- in dieser Form kann man die Funktion nun deutlich leichter ableiten als in der ursprünglich gegebenen.
- Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich:
.
- Setzt man die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstellen zu suchen, so empfiehlt es sich vorher, die beiden Brüche wieder zusammenzufassen:
.
Stammfunktion
Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen ist es bei gebrochenrationalen Funktionen oft relativ schwierig, eine Stammfunktion zu finden.Dafür kann man, je nach Form der gebrochenrationalen Funktion, unter anderem folgende Regeln anwenden (meist muss man den Funktionsterm durch Umformungen und/oder Substitution zunächst in eine passende Form bringen):
für
für
oder
für
für
für
Oft kann für die Bestimmung einer Stammfunktion auch die Partialbruchzerlegung hilfreich sein.Beispiele:
- Gesucht sei eine Stammfunktion zu
. Mittels einer Polynomdivision kann man das zunächst umschreiben zu:
.
- Anwenden der ersten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
.
- Gesucht sei eine Stammfunktion zu
, wobei
zwischen −0,5 und 0,5 liegen soll. Wieder kann man den Funktionsterm zunächst mittels einer Polynomdivision umschreiben:
.
- Anwenden der vierten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
.
- Gesucht sei eine Stammfunktion zu
. Das kann auch geschrieben werden als
mit
.
- Anwenden der letzten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
.
- Eine Stammfunktion zu
kann man mit Hilfe der Substitution
bestimmen, nachdem man den Nenner mittels quadratischer Ergänzung umgeformt hat:
- Eine Stammfunktion zu
kann man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung erhalten, nachdem man den Nenner zunächst faktorisiert hat:
Rationale Funktionen in mehreren Variablen
Eine rationale Funktion in Variablen ist eine Funktion der Form
, wobei
und
Polynome in den Unbestimmten
sind und
.
Beispiele
Stetigkeit
Der Definitionsbereich von besteht aus denjenigen Punkten
, die entweder keine Nullstelle von
sind oder deren Vielfachheit als Nullstelle von
mindestens so groß ist wie die Vielfachheit als Nullstelle von
. Rationale Funktionen sind in allen Punkten ihres Definitionsbereiches stetig.
Anwendungen
Rationale Funktionen haben vielfältige Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik:
- Viele Größen sind umgekehrt proportional zueinander, eine der Größen ist also eine rationale Funktion der anderen, wobei der Zähler konstant und der Nenner eine (homogene) lineare Funktion ist. Einige wenige Beispiele:
- Die Geschwindigkeit
und die für eine feste Strecke
benötigte Zeit
sind umgekehrt proportional zueinander:
- Die Konzentration
eines Stoffes ist bei fester Stoffmenge
umgekehrt proportional zum Volumen
des Lösungsmittels:
- Beschleunigung und Masse sind bei fester Kraft
umgekehrt proportional zueinander:
.
- Für die Kapazität
eines Plattenkondensators gilt in Abhängigkeit vom Plattenabstand
:
mit dem Flächeninhalt
der Platten, der elektrischen Feldkonstante
und der Permittivität
.
- Die Geschwindigkeit
- In vielen Bereichen der Physik kommen Funktionen von zwei Variablen
und
der folgenden Form vor:
. Ist eine der beiden Variablen, z. B.
, konstant oder wählt man sie als Parameter, so ergibt sich eine rationale Funktion (bzw. Funktionenschar) von
. Solche Funktionen treten immer dann auf, wenn sich der gesamte Kehrwert irgendeiner Größe als Summe oder Differenz der Kehrwerte zweier anderer Funktionen ergibt.
- Mittels der Linsengleichung der Optik kann man die Brennweite
als Funktion von Gegenstandsweite
und Bildweite
darstellen:
; umstellen nach
oder
liefern eine sehr ähnliche Funktion, allerdings mit - statt mit +.
- Für den Gesamtwiderstand
einer Parallelschaltung zweier Widerstände
und
ergibt sich:
; eine analoge Formel gilt bei der Reihenschaltung zweier Kondensatoren.
- In der Mechanik ergibt sich, wenn man zwei Federn mit Federkonstanten
und
aneinander hängt, für die gesamte Federkonstante
der Anordnung:
- Mittels der Linsengleichung der Optik kann man die Brennweite
- Bei einem Spannungsteiler ist die gesamte an einem Widerstand
abfallende Spannung
gegeben durch:
, wobei
die zu teilende Spannung und
der andere Widerstand ist.
- Für die elektrische Leistung
, die ein Gerät mit Widerstand
erbringt, das an einer Spannungsquelle (Spannung
) mit Innenwiderstand
angeschlossen ist, ergibt sich:
. Die größtmögliche Leistung (zu bestimmen mit Hilfe der Differenzialrechnung) erhält man also dann, wenn
ist (Leistungsanpassung).
- Für die Induktivität
einer (nicht zu kurzen) Spule in Abhängigkeit von ihrem Radius
gilt:
. Dabei ist
die Länge der Spule (man kann
also auch als rationale Funktion von
auffassen),
die Windungszahl und
die magnetische Feldkonstante.
- Die Bremskraft
einer Wirbelstrombremse hängt folgendermaßen von der Geschwindigkeit
ab:
mit Konstanten
und
.
- Bei der Atwoodschen Maschine hängt die Beschleunigung
folgendermaßen von den beiden Massen
und
ab:
; man kann
also als rationale Funktion sowohl von
als auch von
auffassen.
- Auch geometrische Fragestellungen führen oft auf rationale Funktionen. Beispiel: Bei einer Truhe, die aus einem Quader (Grundseitenlängen
und
, Höhe
) mit aufgesetztem Halb-Zylinder (Höhe
, Radius
) besteht, gilt für den Oberflächeninhalt
in Abhängigkeit von
bei gegebenem Volumen
:
.
Abweichende Bedeutung in der abstrakten Algebra
Rationale Funktionen über einem beliebigen Körper
In der abstrakten Algebra wird der Begriff einer rationalen Funktion in einem allgemeineren und etwas unterschiedlichen Sinne verwendet. Und zwar versteht man unter einer rationalen Funktion in Variablen
über einem Körper
ein Element des Quotientenkörpers des Polynomrings
. Dieser Quotientenkörper wird Rationaler Funktionenkörper genannt.
Im Allgemeinen ist eine rationale Funktion also keine Funktion irgendeiner Art, sondern ein (formaler) Bruch aus zwei Polynomen. Die Umkehrung muss nicht gelten, der Unterschied macht sich allerdings nur über endlichen Körpern bemerkbar: So ist z. B. für jede Primzahl über dem endlichen Körper
(dem Körper aller Restklassen ganzer Zahlen modulo
) der Bruch
eine wohldefinierte rationale Funktion in der Variablen
, aber keine Funktion im eigentlichen Sinne des Begriffes, weil man in diese Funktion keinen einzigen Wert einsetzen darf, ohne dass der Nenner 0 wird. (Denn setzt man irgendein
in diese „Funktion“ ein, erhält man
, was undefiniert ist, weil der Nenner
nach dem kleinen Fermatschen Satz gleich 0 ist.) Über unendlichen Körpern allerdings ist eine rationale Funktion immer eine Funktion, die zwar eine Definitionslücke haben kann, aber diese Definitionslücke ist nur sehr klein im Vergleich zum Definitionsbereich. Dieser Gedanke wird mit dem Begriff der Zariski-Topologie formalisiert: Die Definitionslücke ist eine Zariski-abgeschlossene Menge, und die abgeschlossene Hülle des Definitionsbereiches ist die ganze Menge.
Rationale Funktionen auf einer algebraischen Varietät
Sei eine algebraische Varietät definiert durch Polynome
, also
Sei
Der Ring der ganzen Funktionen ist . Der Körper der rationalen Funktionen ist der Quotientenkörper des Ringes der ganzen Funktionen.
Allgemeiner gibt es den Begriff rationaler Abbildungen zwischen (quasi-projektiven) Varietäten. Rationale Funktionen sind der Spezialfall rationaler Abbildungen von einer Varietät nach .
Weblinks
- Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch © 2000 - 2001 by Henning Koch